פנים (טופולוגיה)
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה.
נהוג לסמן את הפנים של קבוצה $ A $ בסימונים $ {\text{Int}}(A),A^{\circ } $ .
הגדרה פורמלית
ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:
- תהי $ A $ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה $ {\text{Int}}(A) $ , בתור קבוצת כל הנקודות $ x\in A $ כך שקיימת קבוצה פתוחה $ B $ עבורה $ x\in B\subseteq A $ – כלומר, הקבוצה $ A $ היא סביבה של $ x $ .
- תהי $ A $ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר המוכלת ב-$ A $ . על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-$ A $ .
- תהי $ A $ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: $ {\text{Int}}(A)=({\overline {A^{c}}})^{c} $ .
דוגמה
נחשב את הפנים של הקטע הסגור $ [0,1] $ בישר הממשי.
- $ {\begin{aligned}[0,1]^{c}&=(\infty ,0)\cup (1,\infty )\\{\overline {[0,1]^{c}}}&=(\infty ,0]\cup [(1,\infty )\\{\big (}{\overline {[0,1]^{c}}}{\big )}^{c}&=(0,1)\end{aligned}} $
ולכן הפנים של $ [0,1] $ הוא הקטע הפתוח $ (0,1) $ .
תכונות הפנים
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.
- כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: $ A={\text{Int}}(A) $ . בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן $ {\text{Int}}(A)={\text{Int}}{\big (}{\text{Int}}(A){\big )} $ .
- $ A\subseteq B\ \Rightarrow \ {\text{Int}}(A)\subseteq {\text{Int}}(B) $
- $ {\text{Int}}(A)\cup {\text{Int}}(B)\subseteq {\text{Int}}(A\cup B) $
- $ {\text{Int}}(A\cap B)={\text{Int}}(A)\cap {\text{Int}}(B) $
חוץ
החוץ של קבוצה $ A $ , המסומן $ {\text{Ext}}(A) $ , מוגדר כפנים של המשלים שלה: $ {\text{Ext}}(A)={\text{Int}}(A^{c}) $ . באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: $ {\text{Ext}}(A)=({\bar {A}})^{c} $ .
השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.
ראו גם