קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך

בטופולוגיה, קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך היא טכניקה לבניית העתקה אוניברסלית ממרחב טופולוגי $X$ למרחב האוסדורף קומפקטי $\beta X$ , שיש לה חשיבות אפילו כאשר $X$ מרחב דיסקרטי. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך $\beta X$ של $X$ היא מרחב האוסדורף קומפקטי הגדול ביותר הנוצר על ידי $X$ , במובן שכל העתקה מ- $X$ למרחב האוסדורף קומפקטי מתפצלת באופן יחיד דרך $\beta X$ . אם $X$ הוא מרחב רגולרי לחלוטין, אז תמונת $X$ ב- $\beta X$ הומיאומורפית ל- $X$ , וכך אפשר לחשוב על $X$ כתת-מרחב צפוף של $\beta X$ . במקרה הכללי, ההעתקה $X\rightarrow \beta X$ אינה מוכרחה להיות חד-חד-ערכית.

אם מניחים את אקסיומת הבחירה, לכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך. בלעדיה, אפילו הטענה ש- $\beta \mathbb {N} \neq \mathbb {N}$ אינה מוכרחה להיות נכונה, ובפרט קשה לתאר נקודות של $\beta \mathbb {N}$ באופן ישיר.

אוניברסליות ופונקטוריאליות

המרחב $\beta X$ והפונקציה מ- $X$ אליו מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל פונקציה רציפה $f\colon X\to K$ , כאשר $K$ מרחב האוסדורף קומפקטי, יש המשכה יחידה לפונקציה רציפה $\beta f\colon \beta X\to K$ . כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את $\beta X$ עד כדי הומיאומורפיזם.

ההעתקה $X\rightarrow \beta X$ היא חד-חד-ערכית (ולכן הומיאומורפיזם אל התמונה) אם ורק אם X הוא מרחב טיכונוף. ההעתקה $X\rightarrow \beta X$ היא הומיאומורפיזם עם תמונה פתוחה אם ורק אם $X$ מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. תכונת ההרחבה שתוארה לעיל מאשרת כי $\beta$ הוא פונקטור מן הקטגוריה Top של מרחבים טופולוגיים, אל הקטגוריה CHaus של מרחבי האוסדורף קומפקטיים. נסמן ב- $u\colon \operatorname {CHaus} \to \operatorname {Top}$ את פונקטור ההכלה. אז כל מורפיזם $\beta X\to K$ (עבור $K\in \operatorname {Obj} (\operatorname {CHaus} )$ ) מתאים באופן יחיד למורפיזם $X\to uK$ (באמצעות צמצום ל- $X$ ותכונת האוניברסליות), כלומר $\operatorname {Hom} (\beta X,K)=\operatorname {Hom} (X,uK)$ . היינו, הפונקטור $\beta$ הוא פונקטור צמוד משמאל ל- $u$ .

בניה

אם $X$ מרחב דיסקרטי, אפשר לבנות את $\beta X$ כמרחב כל העל-מסננים על $X$ , עם טופולוגיית סטון. אברי $X$ מתאימים למסננים הראשיים. ידועות גם בניות אחרות, המתאימות למרחב טופולוגי כללי.

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של חבורה למחצה

אם $S$ חבורה למחצה דיסקרטית, יש המשכה יחידה של הפעולה מ- $S$ ל- $\beta S$ כך שהכפל מימין בכל איבר הוא רציף, והכפל משמאל בכל איבר של $S$ הוא רציף. המשכה זו היא אסוציאטיבית. מתברר ש- $\beta S$ אוניברסלי כחבורה למחצה קומפקטית והאוסדורף (כלומר ביחס להומומורפיזמים רציפים). אם $S\subseteq T$ חבורות למחצה דיסקרטיות, אז $\beta S\subseteq \beta T$ גם היא תת-חבורה למחצה.

המרכז הטופולוגי של $\beta S$ (הכולל, בהגדרה, את האיברים שהכפל משמאל בהם רציף) שווה למרכז האלגברי. אם $S$ חבורה למחצה אינסופית ובעלת צמצום מימין או משמאל, אז $S^{*}=\beta S-S$ הוא אידיאל ימני או שמאלי, בהתאמה.

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של המספרים הטבעיים (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) היא אובייקט נחקר ובעל חשיבות בתורת הקבוצות. גם המבנה האלגברי של המספרים הטבעיים משך תשומת לב לא מבוטלת בהקשר זה. אלא שהמבנה האלגברי של הקומפקטיפיקציות $\beta \mathbb {N}$ ו- $\beta \mathbb {Z}$ סבוך להפליא. למשל, במרכזים של $(\beta \mathbb {N} ,+)$ , $(\beta \mathbb {N} ,\cdot )$ ו- $(\beta \mathbb {Z} ,+)$ אין אף איבר שאינו שייך לקבוצה המקורית (הטבעיים בשני המקרים הראשונים, השלמים באחרון). ב- $\beta \mathbb {Z}$ כמעט ואין שלשות המקיימות את החוק הדיסטריבוטיבי.