מרחב מנה
ערך זה עוסק במרחב טופולוגי. אם התכוונתם למרחב מנה באלגברה ליניארית, ראו בטופולוגיה, מרחב מנה הוא מרחב טופולוגי שנוצר על ידי "צמצום" של מרחב טופולוגי על ידי פונקציה, יחס שקילות או פעולת חבורה. הטופולוגיה של מרחב המנה עבור פונקציה, יחס שקילות או חבורה פועלת נתונים, נקראת טופולוגיית המנה.
הגדרות
הגדרה על ידי פונקציה
בהינתן מרחב טופולוגי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(X,\tau_X \right)} וקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} (שעליה אין בהכרח טופולוגיה), עם פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f: X \rightarrow Y} שהיא על, נגדיר טופולוגיה על על ידי . טופולוגיה זו נקראת טופולוגיית המנה, ופונקציה כזו נקראת פונקציית מנה. בדרך זו אנו מכריחים את הפונקציה להיות רציפה, על ידי בניית טופולוגיה מתאימה על המרחב השני: טופולוגיית המנה על Y היא הטופולוגיה העשירה ביותר שבעבורה f רציפה. כלומר, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X,Y} שניהם מרחבים טופולוגיים ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:X \to Y} רציפה, אז הטופולוגיה הנתונה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} עשויה להיות דלה יותר מטופולוגיית המנה.
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} מרחב קומפקטי ו- מרחב האוסדורף, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} פונקציה רציפה ועל, אז הטופולוגיה של Y היא טופולוגיית המנה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} .
הגדרה על ידי יחס שקילות
דרך נוספת להגדרת טופולוגיית המנה היא על ידי יחס שקילות. אם X מרחב טופולוגי שמוגדר עליו יחס שקילות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} , מרחב המנה הוא קבוצת מחלקות השקילות ביחס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} , אותה נסמן , כאשר הטופולוגיה עליה מתקבלת כמו בהגדרה לעיל על ידי פונקציה, עבור פונקציית ההטלה למחלקות השקילות. כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{X/R} = \left\{U \subset X/R \mid p^{-1}\left(U\right) \in \tau_X\right\}} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p: X \to X/R} היא הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\left(x\right) = \left[x\right] = \left\{y \in X \mid xRy\right\}} .
דוגמאות
- הספירה הדו-ממדית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^2 \subset \mathbb{R}^3} ניתנת להצגה כמרחב מנה של הכדור היחידה במישור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D^1} , על ידי יחס השקילות המזהה את כל שפתו של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D^1} עם נקודה יחידה (למשל הקוטב הצפוני). בנייה זו מדגימה כיצד פעולת מנה אינה משמרת תכונות גאומטריות; בעוד שהעיגול ניתן לשיכון במישור, לאחר פעולת המנה מתקבלת ספירה דו-ממדית אותה כבר ניתן לשכן רק במרחב התלת-ממדי.
- המרחב הפרויקטיבי הוא מרחב מנה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{F}^n} המתקבל על ידי יחס השקילות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec x \sim \lambda \vec x} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec x \in \mathbb{F}^n} ולכל סקלר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \neq 0} .
קישורים חיצוניים
