קומפקטיפיקציה חד-נקודתית
קומפקטיפיקציה חד נקודתית היא דרך לבנות מרחב טופולוגי קומפקטי ממרחב טופולוגי כלשהו על ידי הוספת נקודה בודדת למרחב.
הבנייה
יהא $ (X,\tau _{X}) $ מרחב טופולוגי. ניקח איזושהי נקודה שרירותית $ \infty \notin X $ ונגדיר $ Y=X\cup \left\{\infty \right\} $. נגדיר טופולוגיה $ \tau _{Y} $ על $ Y $ - קבוצה $ U\subseteq Y $ תחשב פתוחה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:
- $ U $ הייתה במקור קבוצה פתוחה ב-$ X $, כלומר $ U\in \tau _{X} $.
- $ \infty \in U $ וגם $ Y\setminus U $ היא קבוצה קומפקטית.
הוכחת נכונות הבנייה
נראה ש-$ Y $ הוא מרחב קומפקטי. יהא $ {\mathcal {U}} $ כיסוי פתוח של $ Y $. קיימת $ V_{0}\in {\mathcal {U}} $ כך ש-$ \infty \in V_{0} $, ומשום ש-$ V_{0}\in \tau _{Y} $ אזי $ Y\setminus V_{0} $ היא קבוצה קומפקטית. אבל אז ל-$ Y\setminus V_{0} $ יש תת-כיסוי סופי $ \left\{V_{1},...,V_{n}\right\} $, לכן $ \left\{V_{0},V_{1},...,V_{n}\right\} $ הוא כיסוי סופי של $ Y $ ונקבל ש-$ Y $ קומפקטית כנדרש.
תכונה נוספת של Y
ערכים מורחבים – מרחב קומפקטי מקומית, מרחב האוסדורף
אם נניח ש-$ X $ הוא מרחב קומפקטי מקומית האוסדורף, אזי גם $ Y $ הוא מרחב האוסדורף. ואכן, ניקח שתי נקודות שונות $ x,y\in Y $. אם $ x,y\in X $ אזי משום ש-$ X $ הוא מרחב האוסדורף, קיימות שתי קבוצות פתוחות ב-$ X $ וזרות $ U $ ו-$ V $ כך ש-$ x\in U $ ו-$ y\in V $ ונסיים כי כל קבוצה פתוחה ב-$ X $ היא קבוצה פתוחה ב-$ Y $. אחרת, $ x=\infty $ או $ y=\infty $ ונניח בלי הגבלת הכלליות כי $ x=\infty $. משום ש-$ X $ הוא מרחב קומפקטי מקומית, אזי קיימת $ V\in \tau _{X} $ (ובפרט, $ V\in \tau _{Y} $) כך ש-$ y\in V $ וש-$ {\overline {V}} $ היא קבוצה קומפקטית. אבל אז הקבוצה $ U:=Y\setminus \left\{{\overline {V}}\right\} $ היא קבוצה פתוחה ב-$ Y $. בנוסף, נשים לב כי $ x=\infty \in U $ ובכך מצאנו זוג קבוצות פתוחות ב-$ Y $ וזרות כך ש-$ x\in U $ ו-$ y\in V $ ולכן נקבל ש-$ Y $ הוא מרחב האוסדורף כנדרש.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- קומפקטיפיקציה חד-נקודתית, באתר MathWorld (באנגלית)
קומפקטיפיקציה חד-נקודתית37223382Q864919