אלומה (מתמטיקה)

במתמטיקה, אלומה (בצרפתית: Faisceau, באנגלית: Sheaf) היא אמצעי המאפשר לרכז מידע על תכונות מקומיות של מרחב, כדי להשוות אותן לתכונות הגלובליות שלו. האלומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} מוגדרת על מרחב טופולוגי X, ומתאימה לכל קבוצה פתוחה U מידע כלשהו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}(U)} (המידע יכול להיות קבוצה, חבורה, חוג, מודול או אלגברה). האקסיומות שאלומה נדרשת לקיים מבטיחות שהמידע המקומי יהיה מאורגן באופן רציף.

לעיתים קרובות האלומה מתארת מבנים גאומטריים המוגדרים על קבוצות קטנות יחסית של המרחב, כגון פונקציות רציפות, תבניות דיפרנציאליות וכן הלאה. מקורו של הסימון המקובל, ${\mathcal {F}}$, הוא המלה הצרפתית לאלומה - Faisceau.

האלומות הופיעו במתמטיקה לראשונה בהקשר של המשכה אנליטית של פונקציות מרוכבות, ובהמשך הפכו לאבן יסוד בפיתוחה של הגאומטריה האלגברית המודרנית; האובייקטים הבסיסיים של הגאומטריה האלגברית המודרנית (סכמות) מוגדרים בשפה של אלומות. אלומות שימושיות במיוחד בגאומטריה (במיוחד גאומטריה דיפרנציאלית וגאומטריה אלגברית) ובטופולוגיה.

הגדרה פורמלית

אלומה היא "קדם אלומה" המקיימת את אקסיומת ההדבקה (שתוגדר להלן), ולפיכך נפתח בהגדרה של קדם אלומה. ההגדרה תעסוק באלומה של חוגים. אלומות של מבנים אלגבריים אחרים מוגדרות בצורה אנלוגית.

קדם אלומה

בשפה של תורת הקטגוריות, קדם אלומה היא פונקטור קונטרה-וארינטי מהקטגוריה של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי (עם העתקות השיכון), לקטגוריה של חוגים (עם המורפיזמים הרגילים). פירושו של דבר הוא שקדם אלומה היא פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} , המתאימה לכל קבוצה פתוחה U במרחב טופולוגי X חוג $\,{\mathcal {F}}(U)$, באופן שמתקימות ארבע אקסיומות:

1. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}(\empty)=\{0\}} ;
2. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V \subseteq U} קבוצות פתוחות, אז קיים הומומורפיזם של חוגים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{res}_{U,V}:\mathcal{F}(U) \mapsto \mathcal{F}(V)} , הנקרא הומומורפיזם הצמצום;
3. לכל קבוצה פתוחה U מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mbox{res}_{U,U}}=1_{\mathcal{F}(U)}\,} ;
4. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \subseteq V \subseteq W} קבוצות פתוחות ב-X אז מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathrm{res}_{V,U} \circ \mathrm{res}_{W,V} = \mathrm{res}_{W,U}} . כלומר: הצמצום מ-W ל-V ואז ל-U, מביא לאותה תוצאה כמו הצמצום מ-W ישירות ל-U.

בהינתן קבוצות פתוחות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \, V \subseteq U} , ואיבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \in \mathcal{F}(U)} , את הצמצום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} מ-U ל-V מסמנים ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f|_{V}} (בדומה לסימון של צמצום הטווח של פונקציה).

אקסיומת ההדבקה

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{U_i\}_{i \in I}} משפחה של קבוצות פתוחות ב-X. ונניח שלכל אינדקס i נתון אובייקט $\ f_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})$. לכל זוג אינדקסים i,j נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U_{i,j} = U_i \cap U_j} . נניח שלכל i ו-j מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{res}_{U_i,U_{i,j}}(f_i) = \mbox{res}_{U_j,U_{i,j}}(f_j)} , כלומר: הצמצומים של f_i ו-f_j מזדהים על החיתוך. במקרה זה, אקסיומת ההדבקה דורשת את קיומו של "אובייקט גלובלי" יחיד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \in \mathcal{F}(U)} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\bigcup_{i \in I} U_i} ולכל i מתקיים ${\mbox{res}}_{U,U_{i}}(f)=f_{i}$

קדם אלומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} המקיימת את אקסיומת ההדבקה היא אלומה.

חתך מעל קבוצה פתוחה

בהינתן קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \subseteq X} , איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s \in \mathcal{F}(U)} נקרא חתך מעל U. חתך מעל X (כלומר, איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s \in \mathcal{F}(X)} ) נקרא חתך גלובלי.

דוגמאות

1. בהינתן מרחב טופולוגי X, הפונקציה המתאימה לכל קבוצה פתוחה U את אוסף הפונקציות הרציפות מ-U לקבוצת המספרים הממשיים מהווה אלומה. פעולות החוג הן פעולות כפל וחיבור נקודתיות, והעתקות הצמצום הן צמצום התחום של פונקציה, במובן (המתמטי) הרגיל של המילה. מאנליזה ידוע כי ניתן להדביק פונקציות רציפות המזדהות על החיתוכים, ולכן אוסף הפונקציות הרציפות על כל קבוצה פתוחה מהווה אלומה.
2. בהינתן יריעה דיפרנציאלית X, הפונקציה המתאימה לכל קבוצה פתוחה את אוסף הפונקציות החלקות עליה מהווה גם היא אלומה.
3. באופן דומה, בהינתן יריעה אנליטית X, ניתן להגדיר את אלומת הפונקציות האנליטיות על X.
4. בהינתן יריעה X ואגד וקטורי E מעל X, הפונקציה שמתאימה לכל קבוצה פתוחה U את אוסף החתכים של E מעל U היא אלומה.
5. בהינתן מרחב טופולוגי X וחוג R, אוסף כל הפונקציות מקבוצה פתוחה U לR מהווה אלומה. גם במקרה זה, הומומורפיזמי הצמצום הם פשוט צמצום התחום של פונקציה נתונה.
6. האלומה הקבועה: יהי X מרחב טופולוגי ו-R חוג. לכל קבוצה פתוחה U ב-X נתאים את אוסף הפונקציות מ-U ל-R אשר קבועות על כל רכיב קשירות של U. הומומורפיזמי הצמצום יהיו שוב צמצום של פונקציות. נשים לב שאם U תת-קבוצה קשירה אז החוג המתאים לה איזומורפי ל-R. אלומה זאת נקראת האלומה הקבועה R, ונהוג לסמנה באותו סימון כמו החוג - R.

נבט של אלומה

יהיו X מרחב טופולוגי, x נקודה ב-X, והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} אלומה על X. ברצוננו להגדיר חוג אשר יבטא את התכונות של האלומה ${\mathcal {F}}$ בקרבת הנקודה x. על מנת לעשות זאת באופן מדויק, נגדיר חוג אשר יקרא הנבט (Stalk) של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} ב x ויסומן בהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}_x} . הנבט של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} ב-x הוא הגבול הישר של מערכת החוגים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}(U)} , עם ההומומורפיזמים של צמצום, כאשר עוברים על כל הקבוצות הפתוחות U המכילות את x. באופן קונקרטי, איברי החוג הם מחלקות שקילות של זוגות מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (s,U)} , כאשר U קבוצה פתוחה של X המכילה את x ו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s \in \mathcal{F}(U)} ; שני זוגות $(s,U)$ ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (t,V)} הם שקולים זה לזה אם קיימת קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W\subseteq U,V} המכילה את x, כך שהצמצום של s ל-W שווה לצמצום של t ל-W. בהינתן שתי מחלקות שקילות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (s,U)} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (t,V)} , נגדיר את הסכום שלהן לפי הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (s,U) + (t,V) = (s+t,U \cap V)} (כאשר מצמצמים את s+t לחיתוך). כפל יוגדר בצורה אנלוגית, ובאופן זה נקבל חוג הקרוי הנבט של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} ב-x.

בדרך כלל הנבט של אלומה מכיל אך ורק מידע מקומי. כך למשל הדבר במקרה של אלומת הפונקציות החלקות על יריעה דיפרנציאלית. אך לעיתים קורה שהנבט מכיל מידע שאינו בהכרח מקומי. לדוגמה, מאחר שפונקציה אנליטית בקבוצה פשוטת קשר נקבעת ביחידות על ידי הנבט שלה, הרי שהנבט של אלומת הפונקציות האנליטיות על יריעה אנליטית מכילה מידע רב שאינו מקומי.

הומומורפיזם של אלומות

בהינתן שתי אלומות ${\mathcal {G}}$ ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} על מרחב טופולוגי X, הומומורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi: \mathcal{G} \to \mathcal{F}} הוא כלל המתאים לכל קבוצה פתוחה U ב-X הומומורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(U) : \mathcal{G}(U) \to \mathcal{F}(U)} כך שהומומורפיזמים אלו מתחלפים עם העתקות הצמצום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{F}} ו- ${\mathcal {G}}$. במילים אחרות, בהינתן 2 קבוצות פתוחות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U\subseteq V} ב-X, הדיאגרמה הבאה דיאגרמה קומוטטיבית:

לכל נקודה x בX הומומורפיזם של אלומות משרה הומומורפיזם מתאים של הנבטים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi_x:\mathcal{G}_x\mapsto \mathcal{F}_x} . בשפה של תורת הקטגוריות, זוהי העתקה טבעית בין פונקטורים.

מורפיזם חד-חד-ערכי

נאמר שמורפיזם של אלומות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi: \mathcal{G} \mapsto \mathcal{F}} הוא חד-חד-ערכי אם לכל נקודה x ולכל קבוצה פתוחה U המכילה את x קיימת קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V \subseteq U} המכילה את x כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\phi(V)} היא פונקציה חד חד ערכית. ניתן להוכיח שדרישה זו שקולה לכך שלכל קבוצה פתוחה U, הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\phi(U)} היא חד חד ערכית.

מורפיזם על

נאמר שמורפיזם של אלומות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi: \mathcal{G} \mapsto \mathcal{F}} הוא על אם לכל נקודה x ולכל קבוצה פתוחה U קיימת קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V \subseteq U} המכילה את x כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\phi(V)} היא פונקציה על. אזהרה: במקרה זה אין זה נכון שדרישה זו שקולה לכך שתנאי זה יתקיים לכל קבוצה פתוחה U. במילים אחרות, פונקטור החתכים הגלובליים מדויק משמאל, אך אינו מדויק. את ההבדל מודד הפונקטור הנגזר של פונקטור החתכים הגלובליים, קוהומולוגיה של אלומות.

איזומורפיזם

הומומורפיזם של אלומות שהוא גם חד-חד-ערכי וגם על יקרא איזומורפיזם. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} הוא איזומורפיזם של אלומות, קל לראות שההומומורפיזם שהוא משרה על הנבטים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi_x:\mathcal{G}_x \mapsto \mathcal{F}_x } הוא איזומורפיזם לכל x.

מודול מעל אלומה

בהינתן אלומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} של חוגים על מרחב טופולוגי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , נאמר כי אלומה של חבורות אבליות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{M}} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} מהווה מודול מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}} אם לכל קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} , החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{A}(U)} פועל על החבורה האבלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{M}(U)} (באופן שהופך אותה למודול) כך שהפעולה מתואמת עם מורפיזמי הצמצום (בשתי האלומות).

שימושים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

בגאומטריה אלגברית

נביא כעת דוגמה קלאסית מגאומטריה אלגברית: בהינתן תחום שלמות A (נוצר סופית, מעל שדה סגור אלגברית, נאמר, k) המוצג כמנה של חוג הפולינומים מעל k באידיאל I, ניתן להתבונן בספקטרום, שהוא תת-יריעה המרחב של המרחב האפיני מעל k של כל הנקודות שמאפסות כל אבר ב-I. על הספקטרום ניתן להגדיר טופולוגיה (טופולוגית זריצקי) וגם אלומת מבנה ההופכת אותו למרחב מחויג (מקומית): לכל קבוצה פתוחה U, נתאים כחוג את המיקום של A בכל האיברים שמתאפסים על המשלים של U. לפי משפט של סר, קטגוריית המודולים מעל אלומת המבנה שקולה למנה של קטגוריית ה-A-מודולים.

ניתן לחזור על הבנייה שתוארה כאן במקרה הפרויקטיבי, כלומר אם I אידיאל הומוגני ניתן להתבונן בספקטרום הפרויקטיבי ולפעול באופן דומה. גם במקרה זה, לפי משפט של סר, קטגוריית המודולים מעל אלומת המבנה שקולה למנה של קטגוריית ה-A-מודולים המדורגים מודולו קטגוריית הגבולות הישרים של A-מודולים מדורגים נוצרים סופית.

בגאומטריה לא קומוטטיבית

בגאומטריה לא קומוטטיבית לעיתים לא ניתן להגדיר מרחב טופולוגי שמיצג את המרחב הלא קומוטטיבי הנדון. על אחת כמה וכמה לא ניתן להגדיר אלומות מעליו. אולם ניתן להגדיר קטגוריה שתחליף את קטגוריית האלומות ותייצג את המרחב הלא קומוטטיבי.

למשל, ניתן להגדיר את הספקטרום הפרויקטיבי של חוג לא קומוטטיבי A, המקיים דרישות מסוימות (זוהי סכמה לא קומוטטיבית) כקטגוריית המנה שתוארה לעיל. כשממד גלפנד-קירילוב של החוג A הוא 2, יש מעין מיון של הסכמות הלא קומוטטיביות המתקבלות באופן זה, שניתן לראות בהן עקומים פרויקטיביים לא קומוטטיביים. המיון, שנעשה בידי מייקל ארטין וטובי סטפורד קובע שכל עקום כזה שקול בירציונלית (ניתן להגדיר אנלוגיה לשדה הפונקציות הרציונליות באמצעות שברים של איברים הומוגניים מאותה דרגה מתוך A; או אז שקילות בירציונלית פירושה איזומורפיזם של שדות הפונקציות הרציונליות) לעקום קומוטטיבי.

לקריאה נוספת

• Algebraic curves and Riemann Surfaces - Rick Miranda, AMS press 1995

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32646548אלומה (מתמטיקה)