מרחב לינדלף

בטופולוגיה, מרחב לינדלף הוא מרחב טופולוגי שבו לכל כיסוי פתוח קיים תת-כיסוי בן-מנייה. זוהי גרסה חלשה של תכונת הקומפקטיות, הדורשת שלכל כיסוי פתוח יהיה תת-כיסוי סופי. המרחבים נקראים כך על שם המתמטיקאי הפיני ארנסט לאונרד לינדלף.

הלמה של לינדלף קובעת שכל מרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב לינדלף (אבל לא להפך). מרחב מטרי הוא מרחב לינדלף אם ורק אם הוא ספרבילי, אם ורק אם הוא מקיים את אקסיומת המנייה השנייה. לעומת זאת, קיים מרחב רגולרי לינדלף-תורשתית שאינו ספרבילי (Moore, 2006). (מרחב הוא לינדלף-תורשתית אם כל תת-קבוצה שלו היא לינדלף בטופולוגיה המושרית).

כמה תכונות:

תת-קבוצה סגורה של מרחב לינדלף היא מרחב לינדלף.
הוכחה: יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} מרחב לינדלף ו- $V\subseteq X$ תת-קבוצה סגורה. יהי ${\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ כיסוי פתוח של $V$ , במובן ש- $V\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$ . נבחין שאז ${\mathcal {U}}\cup \{V^{c}\}$ כיסוי פתוח של $X$ (הקבוצה $V^{c}$ פתוחה כי $V$ סגורה). מכך ש- $X$ לינדלף נובע שקיים תת-כיסוי בן מנייה ${\mathcal {U'}}$ , ונוכל להבחין כי ${\mathcal {U'}}\setminus \{V^{c}\}$ הוא תת-כיסוי בן מנייה של ${\mathcal {U}}$ . לכן $V$ לינדלף. $\blacksquare$
תמונה רציפה של מרחב לינדלף היא לינדלף.
הוכחה: יהיו $X,Y$ מרחבים טופולוגיים כך ש- $X$ לינדלף, ותהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \colon X \to Y} פונקציה רציפה. נטען ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(X)} גם לינדלף. יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{U}} כיסוי פתוח של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(X)} . נבחין שאז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f^{-1}(\mathcal{U}) = \{f^{-1}(U) \mid U \in \mathcal{U}\}} מהווה כיסוי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} . זה אף כיסוי פתוח של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} , שהרי כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U \in \mathcal{U}} פתוחה ו- $f$ רציפה. מכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} לינדלף נסיק שקיים תת-כיסוי בן מנייה, כלומר שקיימות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_1,U_2,\dots \in \mathcal{U}} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^\infty f^{-1}(U_i)} . מכיוון ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} היא על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(X)} נסיק כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(X) = \bigcup_{i=1}^\infty U_i} , ובכך מצאנו תת-כיסוי בן מנייה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{U}} , ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(X)} לינדלף. $\blacksquare$
מכפלה של שני מרחבי לינדלף אינה בהכרח לינדלף. למשל, הישר של סורגנפריי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}_\ell} הוא לינדלף (בהיותו מרחב מנייה שנייה), אולם ניתן להראות שהמכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}_\ell \times \mathbb{R}_\ell} אינה לינדלף.