סגור (טופולוגיה)

בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה $ S $ השייכת למרחב $ X $ הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את $ S $ .

מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי $ S $ ואת כל הנקודות ה"נוגעות" בקבוצה $ S $ .

נהוג לסמנו בסימונים $ {\text{Cl}}(S),{\bar {S}} $ .

הגדרה פורמלית

יהי $ X $ מרחב טופולוגי כלשהו, ותהי $ S\subseteq X $ קבוצה. אם $ \Lambda $ היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות $ S\subseteq A\subseteq X $ , אזי הסגור של $ S $ יוגדר על ידי:

$ {\bar {S}}={\text{Cl}}(S)=\bigcap _{A\in \Lambda }A $

נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):

• $ {\text{Cl}}(S) $ היא קבוצת כל האיברים של $ X $ שבכל סביבה שלהם קיים איבר של $ S $ (לא בהכרח שונה מהם).
• $ {\text{Cl}}(S)=S\cup S' $ , כאשר $ S' $ היא הקבוצה הנגזרת של $ S $ .
• הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: $ {\text{Cl}}(A)={\big (}{\text{Int}}(A^{c}){\big )}^{c} $ .

דוגמאות

• הסגור של קטע פתוח $ (a,b) $ הוא הקטע הסגור $ [a,b] $ .
• הסגור של קבוצת המספרים הרציונליים $ \mathbb {Q} $ הוא הישר הממשי כולו $ \mathbb {R} $ .

תכונות הנוגעות לסגור

• כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: $ A={\text{Cl}}(A) $ . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן $ {\text{Cl}}(A)={\text{Cl}}{\big (}{\text{Cl}}(A){\big )} $ .
• $ A\subseteq B\ \Rightarrow \ {\text{Cl}}(A)\subseteq {\text{Cl}}(B) $
• $ {\text{Cl}}(A\cap B)\subseteq {\text{Cl}}(A)\cap {\text{Cl}}(B) $
• $ {\text{Cl}}(A\cup B)={\text{Cl}}(A)\cup {\text{Cl}}(B) $
• $ f $ היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל $ A $ בתחום שלה מתקיים $ f{\big (}{\text{Cl}}(A){\big )}\subseteq {\text{Cl}}{\big (}f(A){\big )} $ . בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
• אם $ A $ קבוצה קשירה, לכל $ A\subseteq B\subseteq {\text{Cl}}(A) $ מתקיים שגם $ B $ קבוצה קשירה.
• קבוצה $ A $ במרחב $ X $ המקיימת $ {\text{Cl}}(A)=X $ נקראת קבוצה צפופה.
• קבוצה $ A $ במרחב $ X $ המקיימת $ {\text{Int}}{\big (}{\text{Cl}}(A){\big )}=\varnothing $ נקראת קבוצה דלילה.

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.