טופולוגיה אלגברית

לוח אופייני להרצאה בטופולוגיה אלגברית

במתמטיקה, הענף הקרוי טופולוגיה אלגברית עוסק בחקר תכונותיהם של מרחבים טופולוגיים באמצעות כלים אלגבריים.

מבנים אלגבריים כשמורות טופולוגיות

אחת המטרות העיקריות של הטופולוגיה היא למיין מרחבים לפי טיפוס ההומיאומורפיזם או טיפוס ההומוטופיה שלהם. כרגיל, מאמצי מיון מתמקדים בניסיון לזהות שמורות - מאפיינים המשותפים לכל המרחבים השייכים לאותה מחלקת שקילות.

משפחה עשירה של שמורות כאלה מתקבלת על ידי התאמה של מבנים אלגבריים, כגון חבורות או חוגים, למרחבים טופולוגיים, בדרכים שונות. בעזרת מציאת אינווריאנטים אלגבריים שונים למרחבים טופולוגיים, אפשר ללמוד על תכונות שלהם וכן להבדיל ביניהם. עם זאת, עד כה לא נמצאו אינוורינאטים אלגבריים מלאים - כלומר, כאלה שיאפיינו מרחבים טופולוגיים שונים באופן מלא.

דוגמה - החבורה היסודית

החבורה היסודית היא דוגמה בסיסית וחשובה להתאמה של מבנה אלגברי למרחב טופולוגי. בהינתן מרחב טופולוגי X ונקודת בסיס $x_{0}\in X$, החבורה היסודית שלו מורכבת ממחלקות השקילות של מסילות ב-X המתחילות ומסתיימות ב- $x_{0}$. מגדירים כפל של זוג מסילות על ידי "טיול בקצב כפול" לאורך המסילה האחת ואחר כך לאורך המסילה השנייה.

אינטואיטיבית, החבורה היסודית מאפשרת לתפוס "חורים" מסוג מסוים. למשל, החבורה היסודית של המישור $\mathbb {R} ^{2}$ היא טריוויאלית (החבורה המכילה רק איבר אחד), כי אין בו חורים. לעומת זאת, אם מנקבים במרחב חור מתקבלת חבורה שונה, איזומורפית ל- $\mathbb {Z}$. אם מנקבים במרחב חור נוסף מתקבלת חבורה אחרת (החבורה החופשית בעלת שני יוצרים - יוצר לכל חור).

נשים לב שאם הנקב הוא נקודתי או בצורת דיסקה, החבורה היסודית זהה. כלומר, לזוג המרחבים $X=\mathbb {R} ^{2}-0$ ו- $Y=\mathbb {R} ^{2}-D$, כאשר 0 מייצג את הראשית ו- D מייצג את דיסקת היחידה, יש חבורות יסודיות איזומורפיות (שתיהן איזומורפיות ל- $\mathbb {Z}$). זה "בסדר" כי X ו- Y הומיאומורפיים.

מתברר, שלמעגל $\,S^{1}$ יש אותה חבורה יסודית כמו ל- X ול- Y, אף על פי שהוא אינו הומיאומורפי אליהם. אבל גם זה "בסדר", כי המרחבים X, Y ו- $\,S^{1}$ שקולים הומוטופית. ואמנם ניתן להוכיח שהחבורה היסודית נקבעת רק לפי טיפוס ההומוטופיה של המרחב (כפי שקורה לרוב השמורות בטופולוגיה אלגברית).

אולם בכך לא מסתיים הסיפור. למשל, לכל הספירות, $\,S^{n}$, עבור $n>1$, יש חבורה יסודית טריוויאלית (כמו ל- $\mathbb {R} ^{2}$), אף-על-פי שמרחבים אלו אינם שקולים הומוטופית זה לזה (ובפרט אינם הומיאומורפיים). אינטואיטיבית, החבורה היסודית אינה מסוגלת לתפוס חורים מממד גבוה.

מבנים אלגבריים נוספים

• חבורות ההומוטופיה. בדומה לחבורה היסודית, ניתן להגדיר חבורות הומוטופיה מממדים גבוהים יותר, המורכבות ממחלקות הומוטופיה של העתקות רציפות מסוימות מהספירות השונות $\,S^{n}$ למרחב, עם פעולת כפל מתאימה. חבורות אלה תופסות מידע רב לגבי המרחב, אם כי גם הן אינן מצליחות לסווג לחלוטין את טיפוס ההומוטופיה שלו. נוסף על כך, מתברר שקשה מאד לחשב אותן, אפילו למרחבים הפשוטים ביותר (כגון הספירות עצמן).

• חבורות ההומולוגיה והקוהומולוגיה. לכל מרחב טופולוגי ניתן להתאים זוג סדרות של חבורות אבליות, המכונות חבורות ההומולוגיה והקוהומולוגיה של המרחב. יתר-על-כן, אם נחשוב על הפעולה של החבורות כחיבור, אזי ניתן להגדיר פעולה נוספת בין איברי החבורות, מעין כפל. באופן כזה מתקבל מבנה אלגברי עשיר של חוג, התופש מידע רב אודות טיפוס ההומוטופיה של המרחב (אם כי שוב אינו מגדיר אותו לחלוטין). בניגוד לחבורות ההומוטופיה, מבנה זה הוא בדרך כלל יחסית קל לחישוב.

לא רק מיון

כוחם של הכלים האלגבריים אינו רק במיון מרחבים. למשל, ניתן להוכיח באמצעות הכלים שהזכרנו כי בתנאים מסוימים להעתקה ממרחב X לעצמו חייבת להיות נקודת שבת (משפט נקודת השבת של בראואר, משפט נקודת השבת של לפשץ).

משפט חשוב אחר הוא משפט בורסוק-אולם, שמסקנה ממנו היא שבכל רגע נתון יש זוג נקודות נגדיות על כדור-הארץ שבהן יש בדיוק אותה טמפרטורה ואותו לחץ ברומטרי.

תוצאה יפה אחרת גורסת שלא ניתן לסרק קיפוד. בשפה פורמלית, עבור n זוגי, כל שדה וקטורי רציף על $S^{n}$ מתאפס בנקודה אחת לפחות.

מטופולוגיה לאלגברה

אף על פי שלרוב האלגברה משרתת את הטופולוגיה, יש גם מספר תוצאות בכיוון ההפוך. כך למשל היינץ הופף הראה שאלגברות קיילי-דיקסון מממדים 1,2,4 ו-8 הן אלגברות החילוק היחידות ממימד סופי מעל $\mathbb {R}$, וריינהולד בר ופרידריך לוי הוכיחו את משפט נילסן-שרייר באמצעות החבורה היסודית.