פונקציה רציפה (טופולוגיה)

בטופולוגיה, פונקציה רציפה היא פונקציות בין מרחבים טופולוגיים, שעבורה המקור של כל קבוצה פתוחה בטווח הוא קבוצה פתוחה בתחום. תכונה זו מהווה הכללה למושג הרציפות של פונקציות ממשיות, והיא מרכזית במידה כזו שלמעשה כל המשפטים הטופולוגיים על פונקציות עוסקים בפונקציות רציפות.

מרחב טופולוגי X הוא מרחב דיסקרטי אם ורק אם כל פונקציה מ-X היא רציפה. מרחב טופולוגי Y הוא מרחב בעלת טופולוגיה טריוויאלית אם ורק אם כל פונקציה אל Y היא רציפה.

מבוא

הדוגמה החשובה ביותר לרציפות היא זו של פונקציות ממשיות; עבורן, פונקציה רציפה בנקודה $\ x_{0}$ היא פונקציה שהערכים שלה בנקודות קרובות ל- $\ x_{0}$ קרובים לערך שלה בנקודה עצמה. רעיון זה, למרות שהוא מנוסח בלשון של 'קרבה' שיש לה משמעות רק במרחב מטרי, ניתן להכללה למרחב טופולוגי כלשהו, אם נחליף את הדרישה על המרחק בדרישה שיש "הרבה" קבוצות פתוחות שמכילות את שתי הנקודות. הכללת מושג הרציפות למרחב טופולוגי כלשהו נעשית באופן דומה להכללת מושג הגבול ממרחב מטרי למרחב טופולוגי כלשהו.

הגדרה

יהיו $\ X,Y$ מרחבים טופולוגיים, ו-$\ f:X\rightarrow Y$ פונקציה. אומרים כי $\ f$ רציפה בנקודה $\ x_{0}\in X$, אם לכל קבוצה פתוחה $\ f(x_{0})\in U\subseteq Y$ קיימת קבוצה פתוחה $\ x_{0}\in V\subseteq X$, כך ש- $\ f(V)\subseteq U$.

הפונקציה רציפה סתם, או רציפה בכל המרחב, אם היא רציפה בכל נקודה $\ x_{0}\in X$. ניסוח שקול וקצר יותר:

$\ f:X\rightarrow Y$ היא פונקציה רציפה אם לכל קבוצה פתוחה $\ U\subseteq Y$, הקבוצה $\ f^{-1}(U)=\{x\in X:f(x)\in U\}\subseteq X$ פתוחה.

בפרט, אם $\ X,Y$ הם מרחבים מטריים עם מטריקות $\ d,\rho$ בהתאמה, פונקציה $f:X\rightarrow Y$ היא רציפה אם לכל כדור סביב x קיים כדור סביב $\ f(x)$ כך ש-f מעתיקה את הכדור הראשון אל תוך השני. במלים אחרות, אם לכל x ולכל $\ \varepsilon >0$ קיים $\ \delta >0$ כך שאם $\ d(x,y)<\delta$ אז $\ \rho (f(x),f(y))<\varepsilon$ .

הגדרות שקולות

התכונות הבאות לגבי העתקה $\ f:X\to Y$ בין שני מרחבים טופולוגיים הן שקולות:

1. $\ f$ היא פונקציה רציפה.
2. התכונה שבהגדרה מתקיימת לכל קבוצה בתת־בסיס של הטופולוגיה ב-$\ Y$ .
3. התכונה שבהגדרה נכונה אם מחליפים כל מופע של "קבוצה פתוחה" ב"קבוצה סגורה".
4. $\ f$ רציפה נקודתית בכל $\ x$ במרחב. כלומר, לכל $\ x$, לכל סביבה $\ V$ של $\ f(x)$ קיימת סביבה $\ W$ של $\ x$ כך ש-$\ f(W)\subseteq V$ .
5. לכל $\ A\subseteq X$ מתקיים: $\ f\!\left({\overline {A}}\right)\subseteq {\overline {f(A)}}$ כאשר ${\overline {B}}=\operatorname {cl} (B)$ הוא הסגור של קבוצה $\ B$ .

קומפקטיות

כל פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם מקסימום. תכונה זו אינה מאפיינת קומפקטיות: מרחב שלכל פונקציה ממשית רציפה ממנו יש מקסימום נקרא מרחב פסאודו-קומפקטי. כל מרחב קומפקטי מנייתית הוא פסאודו־קומפקטי, אבל ההפך אינו נכון.

פונקציות פתוחות

התכונה הדואלית לרציפות היא היות הפונקציה פונקציה פתוחה , דהיינו פונקציה כזו שלכל $\ V\subseteq X$ פתוחה, הקבוצה $\ f(V)\subseteq Y$ גם היא פתוחה. באופן דומה מגדירים גם פונקציה סגורה. יש לציין שלו היינו מחליפים את הקבוצות הפתוחות בהגדרת הרציפות בקבוצות סגורות, הייתה מתקבלת אותה הגדרה. לעומת זאת, פונקציה פתוחה אינה בהכרח סגורה, ולהפך.

פונקציה הפיכה (כלומר, שהיא חד־חד־ערכית וגם על), שגם היא וגם ההפכית לה שתיהן רציפות, נקראת הומיאומורפיזם בין המרחבים הטופולוגיים.

פונקציות ההטלה הן דוגמה לפונקציות פתוחות: אם $X=\prod _{i}X_{i}$ הוא מרחב מכפלה ו-$p_{i}:X\to X_{i}$ היא פונקציית היטל, אז $p_{i}$ היא פונקציה פתוחה.

ראו גם

• טופולוגיה
• פונקציה
• הומיאומורפיזם
• פונקציה מדידה