הטופולוגיה הקו-סופית

בטופולוגיה, הטופולוגיה הקו-סופית (או טופולוגיית המשלימים הסופיים; באנגלית: Cofinite topology) מוגדרת על קבוצה $$ X $$ , כך שנוצר מרחב טופולוגי שבו הקבוצות הפתוחות הן הקבוצה הריקה וכל הקבוצות שמשלימותיהן סופיות. מכך נובע שהקבוצות הסגורות הן בדיוק הקבוצות הסופיות והמרחב עצמו.

פורמלית, ניתן להגדיר את הטופולוגיה כ:

{\mathcal {T}}=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing \ \lor \ |X\setminus A|<\infty \}

הטופולוגיה הזו נובעת באופן טבעי מטופולוגיית זריצקי.

תכונות

כל תת-מרחב של הטופולוגיה הקו-סופית הוא גם קו-סופי.
כל קבוצה פתוחה לא-ריקה במרחב, מכילה את כל המרחב פרט למספר סופי של נקודות. לכן:
- המרחב קומפקטי וקומפקטי סדרתית.
- כאשר קבוצת הבסיס $$ X $$ היא אינסופית, כל שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות במרחב חותכות זו את זו, כלומר אין שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות זרות. לכן מרחב טופולוגי המורכב מקבוצה אינסופית $$ X $$ וטופולוגיה קו-סופית אינו מרחב האוסדורף.
הטופולוגיה הקו-סופית על מרחב $$ X $$ היא הטופולוגיה הגסה ביותר על מרחב זה המקיימת את אקסיומת ההפרדה $T_{1}$ .
- יתרה מזאת, טופולוגיה על $$ X $$ מקיימת את $T_{1}$ אם ורק אם היא מכילה את הטופולוגיה הקו-סופית.
הטופולוגיה הקו-סופית על מרחב $$ X $$ סופי היא הטופולוגיה הדיסקרטית (לכל $A\subseteq X$ מתקיים $|X\setminus A|\leq |X|<\infty$ ).