מחלקה (תורת הקבוצות)

בתורת הקבוצות, מחלקה היא אוסף של כל הקבוצות שחולקות תכונה משותפת.

לדוגמה, אוסף כל הקבוצות, אוסף כל החבורות ואוסף כל המספרים טבעיים הם מחלקות. כל קבוצה היא מחלקה, אך לא כל מחלקה היא קבוצה. כך בדוגמאות לעיל שתי הדוגמאות הראשונות הן אינן קבוצות והדוגמה השלישית היא קבוצה. מחלקה שהיא אינה קבוצה נקראת מחלקה נאותה.

בהתאם להקשר, ייתכן שהמושג "מחלקה" ישמש במקום "מחלקה נאותה", במקרים בהם ברור כי מעניינת רק השאלה האם אובייקט מסוים הוא קבוצה או לא (למשל במשפט "אוסף כל העוצמות הוא מחלקה" הכוונה היא למחלקה נאותה).

מחוץ לתחום של תורת הקבוצות לעיתים אין הבחנה בין המושג "מחלקה" והמושג "קבוצה". לפני הפיתוח של תורת הקבוצות האקסיומטית שני המושגים האלו אכן היו שקולים וטרמינולוגיה של תחומים מתמטיים שונים שהתפתחו באותו זמן עשויה להכיל את המושג מחלקה גם כאשר מדובר בקבוצה.

הגדרה פורמלית

בפיתוחים שונים של תורת הקבוצות ההתייחסות למושג המחלקה הוא שונה. למשל במערכת האקסיומות ZFC אין התייחסות פורמלית למושג המחלקה. ההגדרה הנפוצה למושג במסגרת התורה הזו הוא שמחלקה היא למעשה יחס שניתן להגדרה באמצעות נוסחה וקבוצות. המובן הזה משפט כמו "x שייך למחלקה C" מתרגם למשפט "x מקיים פסוק C(x)‎", כאשר C הוא נוסחה בשפה של תורת הקבוצות.

לעומת זאת, במערכת האקסיומות NGB מושג המחלקה הוא המושג הבסיסי של התורה, ומושג הקבוצה מוגדר באמצעותו: קבוצה היא איבר של מחלקה. מצד שני, האקסיומות של NGB לא מאפשרות להוכיח שיש מחלקות ששונות מהמחלקות שהגדרנו עבור ZFC וכל משפט שנוגע לקבוצות שניתן להוכיח מתוך NGB ניתן להוכיח כבר מתוך ZFC.

קיימות מערכות אקסיומות נוספות שמתירות פעולות נוספות על המחלקות ובכך הן חזקות ממש יותר מ-ZFC.

הגבלת הגודל

הגבלת הגודל היא גישה פילוסופית שפותחה על ידי פיליפ ג'ורדן וקנטור שגרסה כי הפרדוקסים שהופיעו בתורת הקבוצות הנאיבית נבעו מעיסוק בקבוצות "גדולות מדי" (קבוצת כל הקבוצות, קבוצת כל הסודרים וכו'). במונחים מודרניים נאמר כי אוספים גדולים מדי של קבוצות אינם יכולים להיות קבוצה ולכן הם מחלקה נאותה.

גישה זו עומדת מאחורי אקסיומת ההפרדה ואקסיומת ההחלפה ב-ZFC.

בנוסף, במערכת האקסיומות NGB, גישה תורגמה לאקסיומת הגבלת הגודל:

C היא מחלקה נאותה אםם יש התאמה חד-חד ערכית ועל בינה לבין מחלקת כל הקבוצות.

אקסיומה זו גוררת את אקסיומת ההחלפה, אקסיומת הבחירה הגלובלית (כי יש התאמה חח"ע ועל בין כל הקבוצות לבין הסודרים) ואת אקסיומת האיחוד (זו תוצאה של עזריאל לוי).