חיתוך (מתמטיקה)
בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, החיתוך של שתי קבוצות $ \ A $ ו-$ \ B $ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב-$ \ A $ ששייכים גם ל-$ \ B $ (או באופן שקול, כל האיברים ב-$ \ B $ ששייכים גם ל-$ \ A $), ורק אותם. החיתוך של $ \ A $ ו-$ \ B $ נכתב בדרך כלל כך: $ \ A\cap B $.
מבחינה פורמלית:
חיתוך כלשהו
בדומה לאיחוד ולפעולות אחרות בתורת הקבוצות, אפשר להגדיר את החיתוך של משפחה כלשהי של קבוצות. נניח כי $ \ \left\{A_{i}\right\}_{i\in \Lambda } $ היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס $ \ i $ השייך לקבוצת אינדקסים $ \ \Lambda $), אז החיתוך שלהן יסומן $ \ \bigcap _{i\in \Lambda }A_{i} $, והגדרתו היא ש-$ \ x\in \bigcap _{i\in \Lambda }A_{i} $ אם ורק אם לכל $ \ k\in \Lambda $ מתקיים- $ \ x\in A_{k} $.
אם קבוצת האינדקסים $ \ \Lambda $ ריקה, אומרים שהחיתוך הוא חיתוך ריק, השווה כביכול לקבוצה האוניברסלית שכל דבר הוא איבר שלה. על-מנת להבטיח שהחיתוך יהיה קבוצה, מגדירים את החיתוך של משפחת קבוצות בתוך מרחב נתון X, ואז החיתוך של משפחה ריקה שווה, כעניין שבהגדרה, למרחב X כולו.
דוגמאות
- אם $ \ A=\left\{t,2,3,4\right\},B=\left\{4,5,r,t\right\} $ אז $ \ A\cap B=\left\{t,4\right\} $
- אם $ \ B\subseteq A $ (B הוא קבוצה חלקית של A) אז $ \ A\cap B=B $.
- אם $ \ B=\emptyset $ (קבוצה ריקה) אז לכל $ \ A $ מתקיים $ \ A\cap B=\emptyset $. (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
- אם $ \ A_{n}=\left\{1,2,\dots ,n\right\} $ אז $ \ \bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\left\{1\right\} $.
- בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת האיחוד:
- בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות $ \ A_{n} $, אז הקבוצה $ \ \bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{k\geq n}A_{k} $ היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס $ \ n $ כלשהו.
- בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות $ \ A_{n} $, אז הקבוצה $ \ \bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k\geq n}A_{k} $ היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.
- (שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות $ \ A_{n} $)
קישורים חיצוניים
| נושאים בתורת הקבוצות | ||
|---|---|---|
| מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
| פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
| יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי | |
| פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
| משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
| סדר | סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר | |
| עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
| אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה | |
| שונות | הפרדוקס של ראסל • השערת הרצף | |