כלל השרשרת

בחשבון אינפיניטסימלי, כלל השרשרת הוא כלל המאפשר למצוא את הנגזרת של פונקציה שמורכבת ממספר פונקציות אחרות.

ניסוח פורמלי

המקרה הפרטי של פונקציות סקלריות

הגרסה הנפוצה ביותר של כלל השרשרת היא זו שעוסקת בהרכבה של פונקציה סקלרית ממשית במשתנה יחיד על פונקציה סקלרית ממשית נוספת במשתנה יחיד.

תהיינה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x),g(x):\mathbb{R}\rarr\mathbb{R}} פונקציות, כך שתחום ההגדרה של $\ f$ מקיים שהטווח של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g } חלקי לו, וכן ששתיהן גזירות בתחום ההגדרה שלהן. אז גם הפונקציה המורכבת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h(x)=f(g(x)) } גזירה בתחום ההגדרה שלה, ומתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h'(x)=f'(g(x)) \cdot g'(x) } .

כלומר, הנגזרת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h } בנקודה כלשהי היא מכפלת הנגזרות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f,g } , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g' } מחושבת בנקודה, ואילו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f' } מחושבת בתמונת הנקודה על פי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g } .

סגנון כתיבה מקובל אחר (שמיוחס ללייבניץ) לכלל השרשרת הוא באמצעות הסימון $\ {\frac {dh}{dx}}$: ניתן לכתוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{dh}{dx}=\frac{dh}{dg}\cdot\frac{dg}{dx} } . כלומר, לכאורה "מצמצמים" דיפרנציאלים (אולם בפועל מדובר בסימון בלבד, שמקל על זכירת הנוסחה).

מקרה כללי של פונקציות מרובות משתנים

בצורתו הכללית, שתקפה גם לפונקציות וקטוריות של מספר משתנים, כלל השרשרת בעצם אומר: שהדיפרנציאל של פונקציה מורכבת - היא הרכבת הדיפרנציאלים של הפונקציות שמרכיבות אותה. זאת תחת דרישת הדיפרנציאביליות.

אם הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} דיפרנציאבילית בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} והפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g} דיפרנציאבילית בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)} , אז:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{D}_x\left(g \circ f\right) = \mbox{D}_{f\left(x\right)}\left(g\right) \cdot \mbox{D}_x\left(f\right)}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{D}_x} פירושו הדיפרנציאל בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} .

הוכחה

לפי הגדרת הנגזרת, עלינו לחשב את $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(g(x))-f(g(x_{0}))}{x-x_{0}}}$

נניח קודם כל, כי יש סביבה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0} בה מתקיים לכל x, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) \neq g(x_0)} . נכפיל מונה ומכנה בביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) - g(x_0)} ונקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}}

על פי הגדרת הנגזרת, המוכפל השמאלי שווה לנגזרת של f לפי g והמוכפל הימני לנגזרת של g.

ההוכחה הזו לא עובדת למשל בפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x})} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0 = 0} . במקרה הזה, אף על פי שהפונקציה g גזירה בנקודה 0, בכל סביבה של 0 יש נקודה t בה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(0) = g(t) = 0} .

כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר Q. הערך של Q יהיה שונה מהמוכפל השמאלי רק במקרים בהם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) = g(x_0)} :

$Q(y)={\begin{cases}{\frac {f(y)-f(g(x_{0}))}{y-g(x_{0})}},&y\neq g(x_{0}),\\f'(g(x_{0})),&y=g(x_{0}).\end{cases}}$

כעת נחשב את הגבול:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to x_0} Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}}

חישוב זה ייתן לנו את התוצאה הרצויה כיוון שמתקיים תמיד:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \frac{ f( g(x)) - f (g(x_0))}{x - x_0}}

ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים - במקרה בו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x) = g(x_0)} שני צדדי המשוואה מתאפסים, ואחרת המכנה בהגדרת Q מצטמצם עם המונה בשבר הימני.

כיוון ש-f גזירה בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x_0)} , Q רציפה באותה נקודה, ולכן מתוך אריתמטיקה של גבולות, נקבל את התוצאה הרצויה.

דוגמאות לשימוש בכלל

נרצה לגזור את הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(x) = (1 + x^2)^3}

נשים לב כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h(x) = f(g(x)) } עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g(x) = 1+x^2} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) = x^3} ולכן מכלל השרשרת:

$\ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f'(g(x)) = 3(1+x^2)^2}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g'(x) = 2x}

ועל ידי הצבה נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ h'(x)=3(1+x^2)^2 \cdot 2x }

נגזרת של פונקציה הפיכה

הנגזרת של הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f^{-1}(x)} ניתנת לחישוב על פי הנוסחה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}}

כלל זה נובע מכלל השרשרת מאחר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [f(f^{-1}(x)]=x} ולכן הנגזרת שלה היא 1. וכידוע מכפלת שני מספרים הופכיים היא 1, ולכן נגזרת הפונקציה החיצונית היא ההופכי של נגזרת הפונקציה הפנימית.

קישורים חיצוניים

• כלל השרשרת, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• כלל השרשרת, באתר MathWorld (באנגלית)
• כלל השרשרת, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

כלל השרשרת33076492Q207455