∫
v
u
′
=
v
u
−
∫
v
′
u
{\displaystyle \ \int vu'=vu-\ \int v'u}
באנליזה מתמטית , אינטגרציה בחלקים היא שיטת אינטגרציה שמתבססת על שימוש בכלל המכפלה עבור נגזרות . בשיטת האינטגרציה בחלקים ניתן להפוך את הבעיה של אינטגרל של מכפלה של שתי פונקציות לבעיה של מציאת אינטגרל של מכפלת שתי פונקציות אחרות, נגזרת הראשונה והפונקציה הקדומה של השנייה.
באמצעות המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי , ניתן להשתמש גם בשיטה זו כדי לחשב במדויק אינטגרלים מסוימים.
ניסוח פורמלי בהינתן שתי פונקציות גזירות ובעלות נגזרות רציפות
f
,
g
{\displaystyle f,g}
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \ \int f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm {d} x}
כדי להראות את נכונות הטענה די לבצע אינטגרציה על שני האגפים של כלל המכפלה האומר כי
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}
חישוב אינטגרציה בחלקים עבור אינטגרל מסוים
נימוק
שלבים
מכלל לייבניץ לנגזרת מכפלה :
(
u
⋅
v
)
′
=
u
′
⋅
v
+
u
⋅
v
′
{\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}
נבצע אינטגרציה על המשוואה:
∫
(
u
⋅
v
)
′
=
∫
u
′
⋅
v
+
u
⋅
v
′
{\displaystyle \int (u\cdot v)'=\int u'\cdot v+u\cdot v'}
נשתמש בליניאריות האינטגרל :
∫
(
u
⋅
v
)
′
=
∫
u
′
⋅
v
+
∫
u
⋅
v
′
{\displaystyle \int (u\cdot v)'=\int u'\cdot v+\int u\cdot v'}
מנוסחת ניוטון-לייבניץ :
∫
a
b
(
u
⋅
v
)
′
=
(
u
⋅
v
)
∣
a
b
{\displaystyle \int _{a}^{b}(u\cdot v)'=(u\cdot v)\mid _{a}^{b}}
לפיכך:
∫
a
b
(
u
⋅
v
)
′
=
∫
a
b
u
′
⋅
v
+
∫
a
b
u
⋅
v
′
=
u
⋅
v
∣
a
b
{\displaystyle \int _{a}^{b}(u\cdot v)'=\int _{a}^{b}u'\cdot v+\int _{a}^{b}u\cdot v'=u\cdot v\mid _{a}^{b}}
נבצע העברת אגפים:
∫
a
b
(
u
⋅
v
′
)
=
(
u
⋅
v
)
∣
a
b
−
∫
a
b
(
u
′
⋅
v
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}(u\cdot v')=(u\cdot v)\mid _{a}^{b}-\int _{a}^{b}(u'\cdot v)}
בחירת הפונקציה הקדומה והנגזרת אף על פי שהכלל תקף תמיד, הוא לא בהכרח מפשט את האינטגרל שאותו אנו רוצים למצוא, ולכן יעיל לשימוש רק במקרים מסוימים. מכיוון שלרוב, ישנן מספר דרכים לפרק כל פונקציה למכפלה של שתי פונקציות, בחירה חכמה של פונקציות יכולה להיות הכרחית להצלחת השיטה.
ככלל אצבע לא מחייב, כדאי לבחור את הפונקציה
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
נשים לב שככל שהפונקציות נמצאות במעלה הרשימה, יותר קל לגלות עבורן את הפונקציה הקדומה שלהן, צעד אשר הכרחי במהלך ביצוע האינטגרציה בחלקים.
עם זאת, לא קיים אלגוריתם לביצוע אינטגרציה בחלקים וקיימים מקרים בהם עדיף לא לעקוב אחרי הסדר ברשימה. לכן יש להתייחס לרשימה זאת אך ורק בגדר כלל אצבע.
דוגמאות לשימושים דוגמה:
אנו רוצים לחשב את האינטגרל
∫
x
cos
(
n
x
)
d
x
{\displaystyle \int x\cos(nx)\,\mathrm {d} x}
המשתנים מהפונקציה המקורית יוגדרו:
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
g
′
(
x
)
=
cos
(
n
x
)
{\displaystyle g'(x)=\cos(nx)}
ולכן נגדיר בהתאם:
f
′
(
x
)
=
1
{\displaystyle f'(x)=1}
g
(
x
)
=
sin
(
n
x
)
n
{\displaystyle g(x)={\frac {\sin(nx)}{n}}}
ומכאן נקבל:
x
sin
(
n
x
)
n
−
∫
sin
(
n
x
)
n
d
x
=
x
sin
(
n
x
)
n
+
cos
(
n
x
)
n
2
{\displaystyle x{\frac {\sin(nx)}{n}}-\int {\frac {\sin(nx)}{n}}\,\mathrm {d} x=x{\frac {\sin(nx)}{n}}+{\frac {\cos(nx)}{n^{2}}}}
∫
x
cos
(
n
x
)
d
x
{\displaystyle \int x\cos(nx)\,\mathrm {d} x}
דוגמה נוספת:
אנו רוצים לחשב את האינטגרל
∫
arctan
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \arctan(x)\,\mathrm {d} x}
∫
1
⋅
arctan
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int 1\cdot \arctan(x)\,\mathrm {d} x}
כעת, נבחר את הפונקציות של המכפלה כך:
g
′
(
x
)
=
1
,
f
(
x
)
=
arctan
(
x
)
{\displaystyle \ g'(x)=1,f(x)=\arctan(x)}
1
{\displaystyle \ 1}
x
{\displaystyle \ x}
arctan
(
x
)
{\displaystyle \arctan(x)}
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}
∫
1
⋅
arctan
(
x
)
d
x
=
x
⋅
arctan
(
x
)
−
∫
x
1
+
x
2
d
x
=
x
arctan
(
x
)
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle \ \int 1\cdot \arctan(x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=x\arctan(x)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C}
ממדים גבוהים ניתן להרחיב את הנוסחה של אינטגרציה בחלקים עבור משתנים מרובים. במקום לבצע אינטגרל על אינטרוול, יש לבצע אינטגרציה על קבוצה
n
{\displaystyle n}
נגזרת חלקית .
באופן מדויק יותר, נניח כי
Ω
{\displaystyle \Omega }
תת-קבוצה פתוחה וחסומה של
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
דיפרנציאביליות ברציפות בסגור של
Ω
{\displaystyle \Omega }
∫
Ω
∂
u
∂
x
i
v
d
Ω
=
∫
Γ
u
v
ν
i
d
Γ
−
∫
Ω
u
∂
v
∂
x
i
d
Ω
,
{\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,\mathrm {d} \Omega =\int _{\Gamma }uv\,\nu _{i}\,\mathrm {d} \Gamma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} \Omega ,}
כאשר
ν
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {\nu } }}}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
ν
i
{\displaystyle \mathbf {\nu } _{i}}
i
{\displaystyle i}
ν
{\displaystyle \nu }
i
{\displaystyle i}
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
ראו גם
קישורים חיצוניים 35549876 אינטגרציה בחלקים
