המחשה גאומטרית של משפט הערך הממוצע של קושי: קיים משיק למסילה
(
f
(
t
)
,
g
(
t
)
)
{\displaystyle (f(t),g(t))}
(
f
(
a
)
,
g
(
a
)
)
{\displaystyle (f(a),g(a))}
(
f
(
b
)
,
g
(
b
)
)
{\displaystyle (f(b),g(b))}
בחשבון אינפיניטסימלי , משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות . למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל .
ניסוח פורמלי תהיינה
f
{\displaystyle \ f}
g
{\displaystyle \ g}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \left[a,b\right]}
(
a
,
b
)
{\displaystyle \left(a,b\right)}
g
{\displaystyle \ g}
משפט רול
g
(
b
)
≠
g
(
a
)
{\displaystyle \ g(b)\neq g(a)}
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
f
′
(
c
)
g
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}
משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא המקרה
g
(
t
)
=
t
{\displaystyle \ g(t)=t}
הוכחה ראשית נשים לב כי אם
g
(
b
)
=
g
(
a
)
{\displaystyle \ g(b)=g(a)}
משפט רול קיימת נקודה
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle \ x\in (a,b)}
g
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle \ g'(x)=0}
g
(
b
)
≠
g
(
a
)
{\displaystyle \ g(b)\neq g(a)}
כעת נגדיר פונקציה חדשה:
F
(
x
)
=
(
f
(
x
)
−
f
(
a
)
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
(
g
(
x
)
−
g
(
a
)
)
{\displaystyle \ F(x)=(f(x)-f(a))-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))}
. פונקציה זו נבנית מהפונקציות
f
,
g
{\displaystyle \ f,g}
באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו
f
,
g
{\displaystyle \ f,g}
, היא רציפה בקטע
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
וגזירה בקטע
(
a
,
b
)
{\displaystyle \ (a,b)}
.
אם נציב, נקבל את השוויון
F
(
a
)
=
F
(
b
)
=
0
{\displaystyle \ F(a)=F(b)=0}
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle \ c\in (a,b)}
F
′
(
c
)
=
0
{\displaystyle \ F'(c)=0}
אבל
F
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \ F'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(x)}
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
g
′
(
c
)
{\displaystyle \ f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c)}
על פי הנתון,
g
′
(
c
)
≠
0
{\displaystyle \ g'(c)\neq 0}
f
′
(
c
)
g
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle \ {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}
30085090 משפט הערך הממוצע של קושי
![{\displaystyle \left[a,b\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30926fb280a9fdf66fd931e14d4363cb824feaa)
![{\displaystyle \ [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4c40bbeaa2f59e60b6259cebe2479bc24396f0)
