משפט הערך הממוצע של קושי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
המחשה גאומטרית של משפט הערך הממוצע של קושי: קיים משיק למסילה $ (f(t),g(t)) $ שמקביל לישר המחבר את $ (f(a),g(a)) $ עם $ (f(b),g(b)) $.

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות. למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.

ניסוח פורמלי

תהיינה $ \ f $ ו-$ \ g $ פונקציות רציפות בקטע $ \left[a,b\right] $ וגזירות בקטע $ \left(a,b\right) $. כמו כן, נניח שהנגזרת של $ \ g $ אינה מתאפסת בקטע הפתוח (ולכן לפי משפט רול $ \ g(b)\neq g(a) $). אזי קיימת נקודה $ c\in (a,b) $ כך שמתקיים $ {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}} $. ראו המחשה למשפט זה באיור משמאל.

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא המקרה $ \ g(t)=t $.

הוכחה

ראשית נשים לב כי אם $ \ g(b)=g(a) $ אז על פי משפט רול קיימת נקודה $ \ x\in (a,b) $ כך ש-$ \ g'(x)=0 $, וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח $ \ g(b)\neq g(a) $.

כעת נגדיר פונקציה חדשה: $ {\displaystyle \ F(x)=(f(x)-f(a))-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))} $. פונקציה זו נבנית מהפונקציות $ \ f,g $ באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו $ \ f,g $, היא רציפה בקטע $ \ [a,b] $ וגזירה בקטע $ \ (a,b) $.

אם נציב, נקבל את השוויון $ \ F(a)=F(b)=0 $. לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה $ \ c\in (a,b) $ כך ש-$ \ F'(c)=0 $.

אבל $ \ F'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(x) $. ולכן: $ \ f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c) $.

על פי הנתון, $ \ g'(c)\neq 0 $ ולכן ניתן לחלק, ולקבל $ \ {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}} $, כמבוקש.


הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הערך הממוצע של קושי30085090Q3984001