המחשה גאומטרית של משפט הערך הממוצע של קושי: קיים משיק ל
מסילה ![{\displaystyle (f(t),g(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25dcbe633597ae18d2cb71254d5426ba013c7c37)
שמקביל לישר המחבר את
![{\displaystyle (f(a),g(a))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379bae5eafa433be25b40325098c609988455b65)
עם
![{\displaystyle (f(b),g(b))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ad96a677cd083e8991cf373c026f364281a91e)
.
בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות. למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.
ניסוח פורמלי
תהיינה
ו-
פונקציות רציפות בקטע
וגזירות בקטע
. כמו כן, נניח שהנגזרת של
אינה מתאפסת בקטע הפתוח (ולכן לפי משפט רול
).
אזי קיימת נקודה
כך שמתקיים
. ראו המחשה למשפט זה באיור משמאל.
משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא המקרה
.
הוכחה
ראשית נשים לב כי אם
אז על פי משפט רול קיימת נקודה
כך ש-
, וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח
.
כעת נגדיר פונקציה חדשה:
![{\displaystyle \ F(x)=(f(x)-f(a))-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a290678ea4b374a4c94bed73f983bbd7f0bb258b)
. פונקציה זו נבנית מהפונקציות
![{\displaystyle \ f,g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b85b22f680919d379207665ecbee66b5e0eb257)
באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו
![{\displaystyle \ f,g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b85b22f680919d379207665ecbee66b5e0eb257)
, היא רציפה בקטע
![{\displaystyle \ [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4c40bbeaa2f59e60b6259cebe2479bc24396f0)
וגזירה בקטע
![{\displaystyle \ (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e68fabba679caa5f240a664bfc9110b6cf757e2)
.
אם נציב, נקבל את השוויון
. לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה
כך ש-
.
אבל
. ולכן:
.
על פי הנתון,
ולכן ניתן לחלק, ולקבל
, כמבוקש.
![Logo hamichlol 3.png](/w/upload/michlol/thumb/1/1c/Logo_hamichlol_3.png/90px-Logo_hamichlol_3.png)
30085090משפט הערך הממוצע של קושי