משפט הערך הממוצע של קושי

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות. למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.

המחשה גאומטרית של משפט הערך הממוצע של קושי: קיים משיק למסילה $(f(t),g(t))$ שמקביל לישר המחבר את $(f(a),g(a))$ עם $(f(b),g(b))$.

ניסוח פורמלי

תהיינה $\ f$ ו-$\ g$ פונקציות רציפות בקטע $\left[a,b\right]$ וגזירות בקטע $\left(a,b\right)$. כמו כן, נניח שהנגזרת של $\ g$ אינה מתאפסת בקטע הפתוח (ולכן לפי משפט רול $\ g(b)\neq g(a)$). אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ כך שמתקיים ${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$. ראו המחשה למשפט זה באיור משמאל.

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא המקרה $\ g(t)=t$.

הוכחה

ראשית נשים לב כי אם $\ g(b)=g(a)$ אז על פי משפט רול קיימת נקודה $\ x\in (a,b)$ כך ש-$\ g'(x)=0$, וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח $\ g(b)\neq g(a)$.

כעת נגדיר פונקציה חדשה:

$$\ F(x)=(f(x)-f(a))-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}(g(x)-g(a))$$

. פונקציה זו נבנית מהפונקציות $\ f,g$ באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו $\ f,g$, היא רציפה בקטע $\ [a,b]$ וגזירה בקטע $\ (a,b)$.

אם נציב, נקבל את השוויון $\ F(a)=F(b)=0$. לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה $\ c\in (a,b)$ כך ש-$\ F'(c)=0$.

אבל $\ F'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(x)$. ולכן: $\ f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c)$.

על פי הנתון, $\ g'(c)\neq 0$ ולכן ניתן לחלק, ולקבל $\ {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$, כמבוקש.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הערך הממוצע של קושי30085090Q3984001