משפט ערך הביניים

המחשה גרפית של משפט ערך הביניים. $u$ מספר בין ערכי הפונקציה בקצוות הקטע, ולכן קיים $c$ בקטע עבורו $f(c)=u$

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט ערך הביניים מספק ביסוס פורמלי לתכונה האינטואיטיבית של פונקציות רציפות כפונקציות ש"ניתן לצייר אותן מבלי להרים את העיפרון מהדף". המשפט אומר כי כאשר פונקציה ממשית רציפה מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל כל ערך שביניהם.

עוד קודם ההוכחה הפורמלית למשפט ערך הביניים נעשה שימוש בתכונת ערך הביניים, וסיימון סטאבין אף הוכיח את קיום התכונה עבור פולינומים. לפני ההגדרה הפורמלית של רציפות, היו שעשו שימוש בתכונת ערך הביניים כדי להגדיר אותה, אולם ברנרד בולצאנו (בשנת 1817) ואוגוסטן לואי קושי (בשנת 1821) הבינו שכדי לנסח את משפט ערך הביניים באופן מדויק יש להגדיר רציפות באופן המוכר לנו כיום.

ניסוח פורמלי

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע סגור $[a,b]$ . יהי $y$ מספר ממשי עבורו $f(a)<y<f(b)$ או $f(a)>y>f(b)$ .

אזי קיים $c\in (a,b)$ עבורו $f(c)=y$ .

ניסוח נוסף

קיים ניסוח שקול למשפט ערך הביניים, המשתמש במונחים שקל יותר להכליל אותם למרחב טופולוגי כללי (ראו להלן):

תהי $f:I\to \mathbb {R}$ פונקציה רציפה המוגדרת על קטע סגור $I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ . אזי התמונה $f(I)$ של הקטע תחת הפונקציה היא בעצמה קטע.

הוכחה

נניח בלי הגבלת הכלליות כי עבור $f(a)<y<f(b)$ אנו רוצים למצוא $c\in (a,b)$ עבורו $f(c)=y$ .

נגדיר את הקבוצה הבאה: $A={\Big \{}x\in [a,b]:f(x)<y{\Big \}}$ .

$a\in A$ ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה, $b$ מהווה חסם מלעיל שלה. לפיכך יש לה סופרמום (חסם עליון מינימלי), על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים.

נסמן $c=\sup A$ , וכעת נוכיח כי $f(c)=y$ .

מרציפות $f$ נובע שלכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $|x-c|<\delta$ מתקיים ${\Big |}f(x)-f(c){\Big |}<\varepsilon$ . כלומר

$$f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon$$

• בכל סביבה $(c-\delta ,c)$ יש אבר של $A$ . בפרט קיים בסביבה זו $x_{1}\in A$ עבורו

$${\begin{matrix}f(x_{1})-\varepsilon <f(c)<f(x_{1})+\varepsilon \\\\x_{1}\in A\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})<y\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})+\varepsilon <y+\varepsilon \\\\f(x_{1})-\varepsilon <{\color {red}f(c)<}\ f(x_{1})+\varepsilon <{\color {red}y+\varepsilon }\end{matrix}}$$

• בכל סביבה $(c,c+\delta )$ אין אבר של $A$ . בפרט קיים בסביבה זו $x_{2}\notin A$ עבורו

$${\begin{matrix}f(x_{2})-\varepsilon <f(c)<f(x_{2})+\varepsilon \\\\x_{2}\notin A\quad \Rightarrow \quad f(x_{2})\geq y\quad \Rightarrow \quad f(x_{2})-\varepsilon \geq y-\varepsilon \\\\{\color {red}y-\varepsilon }\leq f(x_{2})-\varepsilon \ {\color {red}<f(c)}<f(x_{2})+\varepsilon \end{matrix}}$$

עקב התנאים הנ"ל מתקיים על-פי כלל הסנדוויץ'

$$y-\varepsilon <f(c)<y+\varepsilon$$

בהכרח $f(c)=y$ כמבוקש. $\blacksquare$

הטענה ההפוכה

הטענה כי "אם לכל מספר ממשי $y\in [c,d]$ קיים $x\in [a,b]$ המקיים $f(x)=y$ , אז $f$ רציפה", אינה נכונה. דוגמה נגדית למשפט היא הפונקציה $f(x)=\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ שמקיימת את התנאי אך היא אינה רציפה בנקודה $x=0$ (שם מגדירים $f(x)=0$). דוגמא נגדית חזקה יותר, בה הפונקציה אינה רציפה באף נקודה, היא פונקציית בסיס 13 של קונוויי.

תכונת ערך הביניים

אומרים שמרחב טופולוגי $X$ ניחן בתכונת ערך הביניים אם לכל פונקציה רציפה $f:X\to \mathbb {R}$ , לכל $a,b\in X$ ולכל $y$ בין $f(a)$ ל־$f(b)$ , קיים $c\in X$ עבורו $f(c)=y$ . או בנוסח אחר, לכל $f:X\to \mathbb {R}$ רציפה, $f(X)$ הוא קטע. זוהי תכונה טופולוגית, היא נשמרת תחת הומיאומורפיזם. משפט ערך הביניים אומר שכל קטע הוא מרחב עם תכונת ערך הביניים.

מרחב ניחן בתכונת ערך הביניים אם ורק אם הוא מרחב קשיר – מרחב שאינו איחוד זר של שתי קבוצות פתוחות לא־ריקות (אינטואיטיבית, זהו מרחב העשוי מ"חתיכה אחת"). אם מרחב אינו קשיר, אז ניתן להציגו כאיחוד זר של קבוצות פתוחות לא־ריקות $A,B$ , ואז הפונקציה $f(x)={\begin{cases}1&:x\in A\\0&:x\in B\end{cases}}$ היא רציפה וסותרת את תכונת ערך הביניים. בכיוון השני, אם מרחב הוא קשיר, תמונתו קשירה (כי אם $A,B$ קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן $f(X)$ , $f^{-1}(A),f^{-1}(B)$ הן קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן $X$). וקבוצה קשירה ב-$\mathbb {R}$ היא תמיד קטע.

למשל קבוצת המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ אינה קשירה, וקיימות בה פונקציות רציפות שאינן מקיימות את תכונת ערך הביניים, כפי שמעידה לדוגמה הפונקציה הרציפה על הרציונליים:

$f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} ,\quad f(x)={\begin{cases}1&:x<{\sqrt {2}}\\0&:x>{\sqrt {2}}\end{cases}}$

ראו גם

• משפטי ויירשטראס
• משפט דארבו

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0