משפט שטולץ

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צ'זארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט, הגבולות $ \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}} $ ו-$ \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}} $ שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (1842–1905) וארנסטו צזארו (1859–1906).

ניסוח המשפט

תהא $ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } $ סדרה כלשהי, ותהא $ \left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } $ סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.

אם הסדרה $ \textstyle \left\{{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty } $ מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול $ L=\lim _{n\to \infty }\textstyle {\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}} $, אז גם הסדרה $ \textstyle \left\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty } $ מתכנסת לאותו הגבול.

הוכחה

נוכיח את המקרה בו $ \,L $ סופי.

יהי $ \varepsilon >0 $ כלשהו. לפי הגדרת הגבול, קיים $ N\, $ טבעי, כך שלכל $ n>N\, $ מתקיים

$ L-\textstyle {\varepsilon \over 2}<{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}<L+\textstyle {\varepsilon \over 2} $

.

כיוון שהסדרה $ \left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } $ מונוטונית עולה ממש, $ y_{n+1}>y_{n}\, $, כלומר $ y_{n+1}-y_{n}>0\, $ וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:

$ {\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)<x_{n+1}-x_{n}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)} $

יהא $ k>N\, $ טבעי כלשהו כך ש- $ y_{k}>0\, $ (בהכרח קיים $ k\, $ כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל $ N+1\leq n\leq k $ נקבל את האי שוויון הבא:

$ {\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}<\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({x_{i+1}-x_{i}}\right)}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}} $ $ {\displaystyle \Updownarrow } $ $ {\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)<x_{k+1}-x_{N+1}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)} $

נחלק את אי השוויון ב- $ y_{k+1}>0\, $ ונקבל

$ \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)<\textstyle {\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}-\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right) $

$ {\displaystyle \Updownarrow } $

$ \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<{\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+{\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}} $

ברור כי $ \lim _{k\to \infty }\left({\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)=L+\textstyle {\varepsilon \over 2} $. לכן קיים $ M\, $ טבעי כך שלכל $ k>M\, $ מתקיים $ \left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<L+\varepsilon $. כן ברור כי $ \lim _{k\to \infty }\left({\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)=L-\textstyle {\varepsilon \over 2} $ לכן קיים $ A\, $ טבעי כך שלכל $ k>A\, $ מתקיים $ \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}>L-\varepsilon $. לפיכך, אם נבחר $ Q=\max\{A,M,N\}\, $, נקבל שלכל $ k>Q\, $ יתקיים:

$ L-\varepsilon <{\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}<L+\textstyle \varepsilon $, כלומר - $ \left|{{\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}-L}\right|<\textstyle \varepsilon $

ולפיכך, $ \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L $.

דוגמאות

• נחשב את הגבול $ \lim _{n\to \infty }a_{n} $ כאשר $ a_{n}={\frac {2+{({3 \over 2})}^{2}+{({4 \over 3})}^{3}+...+{({n+1 \over n})}^{n}}{n}} $.

נסמן $ x_{n}=\sum _{k=1}^{n}\textstyle {\left({k+1 \over k}\right)}^{k} $, ו- $ y_{n}=n\, $. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: $ y_{n}\, $ עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

$ \lim _{n\to \infty }{\textstyle {\frac {\sum _{k=1}^{n+1}{\left({k+1 \over k}\right)}^{k}-\sum _{k=1}^{n}{\left({k+1 \over k}\right)}^{k}}{n+1-n}}}=\lim _{n\to \infty }{\textstyle \left({\frac {n+2}{n+1}}\right)^{n+1}}=\lim _{n\to \infty }{\textstyle \left(1+{1 \over n+1}\right)^{n+1}}=e $

ולכן, לפי המשפט, $ \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{x_{n} \over y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=e $.

• נחשב את הגבול $ \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+e\cdot a_{2}+e^{2}\cdot a_{3}+...+e^{n-1}\cdot a_{n}}{e^{n}}} $ כאשר $ a_{n}\rightarrow e $.

נסמן $ x_{n}=\sum _{k=1}^{n}e^{k-1}a_{k} $, ו- $ y_{n}=e^{n}\, $. נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: $ y_{n}\, $ עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:

$ \lim _{n\to \infty }{\textstyle {\frac {\sum _{k=1}^{n+1}e^{k-1}a_{k}-\sum _{k=1}^{n}e^{k-1}a_{k}}{e^{n+1}-e^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{n}(a_{n+1})}{e^{n}(e-1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{e-1}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{e-1}}={\frac {e}{e-1}} $

השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.

ולכן, לפי המשפט, $ \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+e\cdot a_{2}+e^{2}\cdot a_{3}+...+e^{n-1}\cdot a_{n}}{e^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{x_{n} \over y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}={\frac {e}{e-1}} $.

שימושים

• הוכחת כלל לופיטל.
• בהינתן $ \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } $ סדרה מתכנסת:
  • הממוצעים המשוקללים של $ a_{n} $ מתכנסים לאותו גבול כמו $ \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } $ (זאת בתנאי שסדרת המשקולות $ \left\{\alpha _{n}\right\}_{n=1}^{\infty } $ מקיימת $ \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\to \infty $).
  • הממוצע החשבוני של $ a_{n} $ מתכנס לאותו גבול כמו $ \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } $ (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
  • הממוצע ההרמוני של $ a_{n} $ מתכנס לאותו גבול כמו $ \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } $.
    • משתי הטענות האחרונות, מאי שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של $ a_{n} $ מתכנס לאותו גבול כמו $ \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } $.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט שטולץ31840216Q1052752