פונקציה דיפרנציאבילית

באנליזה מתמטית, פונקציה דיפרנציאבילית היא פונקציה ממשית בכמה משתנים, שיש לה קירוב ליניארי (דיפרנציאל). פונקציה דיפרנציאבילית במשתנה אחד היא פונקציה גזירה.

בפונקציות של כמה משתנים יכולה להיות נגזרת (וקטור הנגזרות החלקיות) גם אם היא אינה דיפרנציאבילית.

הגדרה פורמלית

תהא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}} פונקציה ב-$\!\,n$ משתנים. הפונקציה תיקרא דיפרנציאבילית בנקודה $x^{0}=\left(x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0}\right)$ אם אפשר לכתוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x^0_1+\Delta x_1,\dots,x^0_n+\Delta x_n)= f(x^0_1,\dots,x^0_n)+\sum_{i=1}^{n}(A_i + \alpha_i(x))\cdot\Delta x_i} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, A_1,\dots,A_n} קבועים, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, \alpha_1,\dots,\alpha_n} פונקציות השואפות לאפס כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, \Delta x} שואף לאפס.

פירוש ההגדרה הוא כדלהלן: בסביבות הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, x^0} אפשר לייצג את הפונקציה בקירוב טוב בתור פונקציה ליניארית ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, n} משתנים, כשהמקדמים הם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, A_1,\dots,A_n} . זהו "קירוב טוב" כי השאריות (הפונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, \alpha_1,\dots,\alpha_n} ) קטנות מאוד יחסית לחלק הליניארי של הפונקציה.

משפטים העוסקים בדיפרנציאביליות

אם פונקציה היא דיפרנציאבילית בנקודה, אז היא רציפה שם, יש לה נגזרות חלקיות, והמקדמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, A_1,\dots,A_n} בקירוב הליניארי אינם אלא הנגזרות החלקיות של הפונקציה: $\!\,A_{k}={\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(x^{0})$.

קיומן של נגזרות חלקיות אינו מבטיח שהפונקציה תהיה דיפרנציאבילית (או אפילו רציפה). מאידך, אם הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות, אז הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה זו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35145268פונקציה דיפרנציאבילית