משפט פרמה (לנקודות קיצון)

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט פרמה קובע כי אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, ואותה הנקודה היא נקודת קיצון של הפונקציה (מקסימום מקומי או מינימום מקומי), אז הנגזרת באותה הנקודה שווה לאפס. כלומר, שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא אפס. יש לשים לב כי ההפך לא תמיד נכון - נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת. בנוסף, נקודת קיצון יכולה להתקיים גם במקרה בו הנגזרת לא מוגדרת. כלומר, בנקודה בה הפונקציה אינה גזירה.
זה אינו המשפט המפורסם המוכר כמשפט האחרון של פרמה.

ניסוח המשפט

תהי $\ f$ פונקציה המוגדרת בקטע $\left(a,b\right)$ ותהי $x_{0}\in (a,b)$ נקודת קיצון מקומית בה הפונקציה גזירה, אז $f'\left(x_{0}\right)=0$.

הוכחה

נוכיח במקרה שבו $\ x_{0}$ היא נקודת מקסימום מקומי. ההוכחה לנקודות מינימום דומה.

מאחר ש-$\ x_{0}$ נקודת מקסימום מקומי, הרי שקיימת סביבה $\ U=(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ המוכלת כולה בקטע $\ (a,b)$, כך שלכל $x\in U$ מתקיים $f(x)\leq f(x_{0})$. מכאן כי עבור כל $\ \Delta x$ שעבורו $x_{0}+\Delta x\in U$ מתקיים $f(x_{0}+\Delta x)\leq f(x_{0})$.

כעת נסתכל בנגזרות מימין ומשמאל של הפונקציה בנקודה $\ x_{0}$:

$f'_{+}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\leq 0$

זאת כי המונה תמיד שלילי או אפס, כפי שראינו, והמכנה תמיד חיובי, כי השאיפה לאפס היא מצד ימין.

לעומת זאת:

$f'_{-}(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\geq 0$

כי הפעם המכנה שלילי תמיד.

מאחר שהפונקציה גזירה בנקודה $\ x_{0}$ הרי שמתקיים $f'_{-}\left(x_{0}\right)=f'_{+}(x_{0})$ ולכן בהכרח $f'\left(x_{0}\right)=0$.

הכללה למקרה מרובה המשתנים

ניתן להכליל את המשפט למקרה של פונקציה סקלרית מרובת משתנים $\ f(x_{1},\dots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$. אם לפונקציה יש מקסימום בנקודה כלשהי, בפרט יהיה לה מקסימום כאשר נסתכל על הפונקציה כפונקציה של משתנה יחיד ונתייחס לשאר המשתנים בתור קבועים, ועל כן על פי משפט פרמה הנגזרת החלקית על פי משתנה זה תתאפס. ניתן לעשות זאת עבור כל המשתנים, ועל כן הנגזרת החלקית עבור כל אחד מהמשתנים מתאפסת בנקודה זו. פירוש הדבר הוא שהגרדיאנט של הפונקציה בנקודת הקיצון יהיה וקטור האפס.

קישורים חיצוניים

• ד"ר גדי אלכסנדרוביץ', נגזרת - בשביל מה זה טוב? (בעיות קיצון, חלק ב'), באתר "לא מדויק".
• ד"ר גדי אלכסנדרוביץ', אנליזה וקטורית - מציאת ערכי קיצון, באתר "לא מדויק".

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

33076127משפט פרמה (לנקודות קיצון)