פונקציה קעורה
במתמטיקה, פונקציה קעורה בקטע מסוים היא פונקציה אשר עבור כל שתי נקודות באותו הקטע, הישר המחבר בין שתי הנקודות נמצא מתחת לגרף הפונקציה.
למרות שעל פי ההגדרה הלשונית של המילים "קמור" ו"קעור", העקום המתקבל הוא קמור מלמעלה, בהגדרה המתמטית העקום נבחן מלמטה ולכן הוא מכונה פונקציה קעורה.
הגדרה
תהי פונקציה המוגדרת בקטע . הפונקציה תקרא קעורה בקטע אם לכל ולכל מתקיים אי-השוויון
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d1bc3ddd05cec7229b2882cc0a74f4b3388514)
![{\displaystyle c\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b2796dc5e3cb6527d1ac6e766dc1da2ef1e120)
בפשטות, הגדרה זו מציינת כי לכל ערכי הפונקציה תהיינה מעל או על המיתר המחבר את הנקודות .
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
אם הפונקציה היא עקומה, אז הנקודה תהיה מעל הישר עבור ותהיה על הישר עבור . אם הפונקציה היא קו ישר, אז הנקודה תמיד תהיה על הישר.
הגדרה שקולה: היא קעורה אם היא קמורה.
אם גזירה בקטע פתוח, אזי קעורה בו אם ורק אם הנגזרת היא פונקציה מונוטונית יורדת.
אם הפונקציה גזירה פעמיים בקטע, ניתן לזהות קעירות באמצעות הנגזרת השנייה שלה: אם הנגזרת השנייה שלילית בכל הקטע, הפונקציה קעורה בו.
תנאי מספיק נוסף לקעירות פונקציה מבוטא בעזרת ההיפוגרף שלה: פונקציה היא קעורה אם ההיפוגרף שלה הוא קבוצה קמורה.
פונקציות לינאריות
פונקציה לינארית נחשבת קעורה וקמורה בעת ובעונה אחת, בגלל אי־השוויון החלש (). פיתוח של הגדרת הקמירות או הקעירות, כאשר הפונקציה המדוברת היא לינארית, מוביל לשוויון ממש בין שני האגפים.
ראו גם
קישורים חיצוניים
| מיזמי קרן ויקימדיה |
|---|
 ערך מילוני בוויקימילון: פונקציה קעורה |