משפטי ויירשטראס

שני המשפטים שהוכיח קארל ויירשטראס על פונקציות ממשיות הם מן המשפטים היסודיים בחשבון האינפיניטסימלי. המשפטים עוסקים בפונקציות רציפות המוגדרות בקטע סגור וחסום.

המשפט הראשון קובע שפונקציה רציפה בקטע סגור, חסומה שם.

המשפט השני מוסיף וקובע כי הפונקציה מקבלת בקטע ערכי מינימום ומקסימום.

תכונות אלה לא מתקיימות בהכרח בפונקציות רציפות מעל קטעים שאינם סגורים. לדוגמה, הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=1/x} רציפה בקטע $(0,1)$, שאינו סגור, ואינה חסומה שם. באופן דומה, הפונקציה $g(x)=x$ חסומה בקטע $(0,1)$, אבל אינה מקבלת בו מינימום או מקסימום (לכל נקודה בקטע הפתוח יש נקודה שמאלית/ימנית ממנה בקטע ששם מתקבל ערך קטן/גדול יותר בהתאמה).

שני המשפטים חלים גם על פונקציות ממשיות של כמה משתנים: פונקציה רציפה המוגדרת על קבוצה סגורה וחסומה ב-$\mathbb {R} ^{n}$, היא חסומה, וערכי המינימום והמקסימום שלה מתקבלים.

באופן כללי אף יותר, המשפטים נותנים את אחת התכונות היסודיות של פונקציות המוגדרות על קבוצות קומפקטיות: פונקציה ממשית רציפה המוגדרת על קבוצה קומפקטית היא חסומה, ומקבלת את ערך המקסימום שלה בתחום ההגדרה. כפי שיוסבר בהמשך, הסיבה העקרונית לשתי התכונות היא שתמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קבוצה קומפקטית.

הוכחת המשפט הראשון

נביא כאן הוכחה עבור פונקציה רציפה $f$ המוגדרת על קטע סגור $A=[a,b]$ ב- $\mathbb {R}$. ההוכחה הכללית עבור קבוצה סגורה וחסומה ב-$\mathbb {R} ^{n}$ דומה.

נניח שתמונת $f$ אינה חסומה. אם כך, לכל $n$ קיימת נקודה $x_{n}\in A$ כך ש- $f(x_{n})>n$. לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לסדרה שבנינו קיימת תת-סדרה מתכנסת, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{n_k}\rarr x} . מכיוון ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} סגורה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in A} . אבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} רציפה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \infty = \lim_{k\rarr\infty} f(x_{n_k}) = f(\lim_{k\rarr\infty} x_{n}) = f(x)} , וזה בלתי אפשרי.

הוכחת המשפט השני

הוכחה א'

לפי המשפט הראשון, הפונקציה חסומה מלעיל ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . לכן, בשל שלמות הממשיים, קיים לה חסם עליון שנסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=\sup f\left(A\right)} . מכיוון שזהו חסם עליון, קיימת לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in \mathbb{N}} נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_n\in A} כך ש- $s-{\frac {1}{n}}<f(x_{n})\leq s$, ולכן לפי משפט הסנדוויץ' הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\rarr\infty}f(x_{n})=s} . שוב לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס קיימת לסדרה שבנינו תת-סדרה מתכנסת, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{n_k}} . נסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0=\lim_{k\rarr\infty}x_{n_k}} . לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in \mathbb{N}} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \le x_{n_k}\le b} , ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \le \lim_{k\rarr\infty}x_{n_k} \le b} ומכאן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0=\lim_{k\rarr\infty}x_{n_k}\isin [a,b]=A} . מכיוון ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} רציפה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} היא בפרט רציפה ב-$x_{0}$ ולכן מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_0)=\lim_{k\rarr\infty}f(x_{n_k})} . אבל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_{n_k})} תת-סדרה של הסדרה המתכנסת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_{n})} ולכן היא מתכנסת ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\rarr\infty}f(x_{n})} , ומכאן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_0)=\lim_{k\rarr\infty}f(x_{n_k})=\lim_{n\rarr\infty}f(x_{n})=s} . כלומר, מצאנו נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0\isin A} כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\isin A} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)\leq \sup f\left(A\right)=s=f(x_0)} ולכן היא נקודת מקסימום.

הוכחה ב'

אפשר להציע הוכחה שונה מעט למשפט השני, הנסמכת על המשפט הראשון במקום על משפט בולצאנו-ויירשטראס: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} הוא חסם עליון בקטע אבל אינו מתקבל שם, אז $s-f(x)>0$ והפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{s-f(x)}} חיובית ורציפה בכל הקטע. לפי המשפט הראשון היא חסומה מלעיל, כלומר קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z>0} כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in A} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {1}{s-f(x)} \le z} . מכך נובע ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) \le s-1/z<s} , בסתירה לכך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} הוא החסם העליון.

הוכחה כללית

לכל שני מרחבים טופולוגיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X,Y} ופונקציה רציפה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:X\rarr Y} , התמונה של קבוצה קומפקטית במרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} היא קומפקטית במרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} (להוכחה עיינו בערך קומפקטיות). כעת נניח שהמרחב השני הוא הישר הממשי עם הטופולוגיה המטרית. נזכיר שקבוצה קומפקטית על הישר הממשי היא קבוצה סגורה וחסומה, ולכן היא כוללת את החסם התחתון והחסם העליון של עצמה. מכאן נובע שפונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם מקסימום ומינימום.

כדי לסיים את גזירת המשפטים של ויירשטראס עבור קבוצה סגורה וחסומה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^n} , נשאר להפעיל את משפט היינה-בורל שלפיו קבוצות כאלה הן קומפקטיות.

קישורים חיצוניים

• משפטי ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפטי ויירשטראס35538509Q752375