משפט דארבו

באנליזה מתמטית, משפט דארבו (על שם המתמטיקאי ז'אן גסטון דארבו) הוא הכללה של משפט ערך הביניים עבור פונקציות שהן נגזרת (כלומר, קיימת להן פונקציה קדומה).

על-פי המשפט, אם פונקציה גזירה בקטע סגור, פונקציית הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע, גם אם פונקציית הנגזרת אינה רציפה בעצמה.

ניסוח פורמלי

תהא $f(x)$ פונקציה גזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ , גזירה מימין בנקודה $a$ וגזירה משמאל בנקודה $b$ . אזי לכל $y$ בין $f'(a)^{+}$ ל-$f'(b)^{-}$ קיימת $c\in [a,b]$ עבורה $f'(c)=y$ .

משפט דארבו מהווה הכללה של משפט ערך הביניים שכן כל פונקציה רציפה מקיימת את משפט ערך הביניים, אך כוחו בכך שהנגזרת אינה חייבת להיות בהכרח רציפה כדי שהמשפט יתקיים.

הוכחה

אם $f'(a)^{+}=f'(b)^{-}$ הטענה ברורה מאליה.

נניח ללא הגבלת הכלליות כי $f'(a)^{+}<y<f'(b)^{-}$ .

נגדיר פונקציה $g(x)=f(x)-yx$ . זו גזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ ובעלת נגזרות חד-צדדיות בקצות הקטע כהפרש פונקציות גזירות בקטע וחד-צדדית בקצותיו.

נגזרתה היא $g'(x)=f'(x)-y$ והיא מקיימת $g'(a)^{+}<0<g'(b)^{-}$ כי:

$${\begin{matrix}g'(a)^{+}=f'(a)^{+}-y<0\\g'(b)^{-}=f'(b)^{-}-y>0\end{matrix}}$$

$g$ רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ כהפרש פונקציות רציפות. לפיכך, על-פי המשפט השני של ויירשטראס היא מקבלת מינימום בקטע זה.

• מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה $a$ כיון ש-$g'(a)^{+}<0$ ולכן $g$ יורדת מקומית שם.
• מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה $b$ כיון ש-$g'(b)^{-}>0$ ולכן $g$ עולה מקומית שם.

לפיכך, המינימום חייב להתקבל בנקודה $c\in (a,b)$ .

ממשפט פרמה נובע כי $g'(c)=f'(c)-y=0$ . לכן $f'(c)=y$ .

מסקנה ממשפט דארבו

מסקנה מעניינת ממשפט דארבו היא שנקודות אי-הרציפות של הנגזרת הן מסוג "אי-רציפות עיקרית" בלבד. בפרט, לפונקציה בעלת נקודת אי-רציפות סליקה או אי-רציפות מסוג "דילוג" אין פונקציה קדומה.

מסקנה נוספת היא שהמשפט ההפוך למשפט ערך הביניים אינו נכון, כיוון שקיימות נגזרות שאינן רציפות אבל כן מקיימות את תכונת ערך הביניים. גם המשפט ההפוך למשפט דארבו אינו נכון. לא לכל פונקציה המקיימת את תכונת ערך הביניים יש פונקציה קדומה. דוגמה נגדית היא פונקציית בסיס 13 של קונוויי.