מספר הופכי

מספר הופכי (לעיתים נקרא הופכי כפלי) למספר נתון הוא מספר שמכפלתו במספר הנתון שווה ל-1 (איבר היחידה ביחס לכפל). לדוגמה: המספר ההופכי של 3 הוא ${1 \over 3}$, והמספר ההופכי של ${1 \over 3}$ הוא 3. היחס "הופכי של" הוא יחס סימטרי (זו תכונה כללית של הופכיים), ולכן ניתן לדבר על זוג מספרים הופכיים, שהם זוג מספרים שכל אחד מהם הוא ההופכי של משנהו.

מסמנים את המספר ההופכי ל-x כך:

$x^{-1}={1 \over x}$

הופכי קיים לא רק בכפל רגיל, אלא גם בחשבון מודולרי כאשר בסיס המודול הוא מספר ראשוני. למשל, בחשבון מודולו 7, ההופכי של 3 הוא 5 (כי 15 שקול ל-1 מודולו 7). הופכי כזה נקרא הופכי כפלי מודולרי.

תכונות של מספרים הופכיים

• לכל מספר (מלבד 0) קיים מספר הופכי אחד ויחיד.
• 1 הוא ההופכי של 1.
• ההופכי להופכי של מספר נתון - הוא המספר הנתון עצמו.

הסיבה של-0 אין הופכי היא שכפל של כל מספר באפס הוא אפס (ניתן להוכיח זאת ישירות מהתכונה שלפיה כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו, כלומר שאפס נייטרלי לחיבור), ועל כן לא קיים מספר שמכפלתו ב-0 תיתן 1.

איבר הופכי

במבנה אלגברי כלשהו, ובפרט בחבורה, ההכללה של מושג המספר ההופכי היא מושג האיבר ההופכי: לכל איבר במבנה קיים איבר הופכי לו, כך שמכפלתם היא איבר היחידה של החבורה.

גם בחוג כללי, לכל איבר, פרט לאיבר האפס, יכול להתקיים הופכי ביחס לכפל. חוג קומוטטיבי, שלכל איבר ששונה מאפס בו קיים הופכי, נקרא שדה.

ראו גם

• מספר נגדי
• יחס הפוך
• הופכי כפלי מודולרי

קישורים חיצוניים

• מספר הופכי, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

33133318מספר הופכי