שדה סגור ממשית

שדה סגור ממשית הוא שדה סדור, שאין לו הרחבות אלגבריות סדורות (פרט לשדה עצמו). הדוגמה המוכרת לשדות כאלה היא שדה המספרים הממשיים, ואכן, יש תכונות חשובות של שדה המספרים הממשיים שהן משותפות לכל השדות הסגורים ממשית (התורות שקולות אלמנטרית).

שדה R הוא סגור ממשית אם ורק אם אין בו שורש ריבועי של מינוס אחת, וסיפוח השורש הזה מביא לשדה $\ R[{\sqrt {-1}}]$ שהוא סגור אלגברית. שדה סדור הוא סגור ממשית אם ורק אם הוא אוקלידי ויש בו שורש לכל פולינום ממעלה אי-זוגית. בפרט, מכיוון שכל שדה סגור ממשית הוא אוקלידי, יש בו סדר יחיד. שדה הוא סגור ממשית אם ורק אם מעלת ההרחבות האלגבריות מעליו חסומה (משפט ארטין-שרייר (שדות סדורים), 1927).

הפונקציות הפולינומיות מעל שדה סגור ממשית הן רציפות, במובן המוכלל המתאים למשפט ערך הביניים: אם פולינום מקבל ערכים a,b בקצוות של קטע, אז הוא מקבל כל ערך בין a ל-b בתוך הקטע^[1].

לכל שדה סדור יש סגור ממשי, שהוא הרחבה אלגברית סדורה גדולה ביותר המכילה אותו. שלא כמו בניית הסגור האלגברי, בניית הסגור הממשי אינה מצריכה את הלמה של צורן. לדוגמה, החלק הממשי של שדה המספרים האלגבריים הוא הסגור הממשי של שדה המספרים הרציונליים. שלא כפי שמשתמע מן הדוגמה הזו, בדרך כלל שדה סדור אינו צפוף בסגור הממשי שלו.

התורה הלוגית של שדות סדורים ממשית היא שלמה, כריעה ו-o-מינימלית. בנוסף, תתי מבנים ותתי מבנים אלמנטריים הם היינו-הך בתורה זו (זאת אומרת התורה היא model complete), מכיוון ש"עקרון טרסקי" מאפשר חילוץ כמתים בתורה מסדר ראשון שלהם (כשמוסיפים לשפת השדות את יחס הסדר). זוהי אבן היסוד לפתרון קצר ופשוט לבעיה השבע-עשרה של הילברט.