סדר (תורת החבורות)

בתורת החבורות, למושג סדר יש שתי משמעויות שונות, אך קשורות.

סדר של חבורה

הסדר של חבורה הוא העוצמה שלה, $|G|$ , כלומר מספר האיברים אם החבורה סופית.

משפט לגראנז', שהוא בין המשפטים הבסיסיים בתורת החבורות, קובע שהסדר של חבורה סופית מתחלק בסדר של כל תת-חבורה שלה.

מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את משפט קושי על קיומם של איברים בעלי סדר ראשוני, ואת משפטי סילו על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.

סדר של איבר בחבורה

בהינתן חבורה $G$ ואיבר כלשהו $g\in G$ , הסדר של $g$ שמסומן $o(g)$ הוא המעריך הטבעי הקטן ביותר $\,\!n$ שבחזקתו איבר $g$ שווה לאיבר היחידה של החבורה, כלומר: $g^{n}=e$ . אם לא קיים מספר שכזה, נאמר שהסדר של $g$ הוא אינסופי, ונסמן $o(g)=\infty$ . הסדר של איבר בחבורה הוא הסדר של החבורה הציקלית הנוצרת על ידי האיבר, ומכאן הקשר בין סדר של איבר לסדר של חבורה.

מסקנה מיידית ממשפט לגראנז' היא שהסדר של איבר בחבורה $G$ מחלק את הסדר של $G$ . זאת מכיוון שהחבורה הציקלית שנוצרת על ידי האיבר היא תת-חבורה של $G$ שסדרה כסדר האיבר. לכן לפי משפט לגראנז' סדר זה מחלק את הסדר של G.

מכאן נובעת מסקנה מיידית חשובה נוספת: בהינתן חבורה סופית $G$ , כל איבר בחבורה בחזקת סדר החבורה שווה לאיבר היחידה. נראה זאת: יהא $g\in G$ כלשהו, אז קיים $k$ שלם כך ש- $k\cdot o(g)=|G|$ (כי הסדר של $g$ מחלק את הסדר של $G$ ). על כן: $g^{|G|}=g^{k\cdot o(g)}=\left(g^{o(g)}\right)^{k}=e^{k}=e$ .

עוד מסקנה מיידית היא שחבורה מסדר שהוא מספר ראשוני היא בהכרח ציקלית, וכל איבר פרט ליחידה הוא יוצר שלה (שכן הסדר של כל איבר פרט לאיבר היחידה שווה לסדר החבורה).

דוגמה

לחבורה הסימטרית $S_{3}$ יש את לוח הכפל הבא:

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

בחבורה זו יש שישה איברים, כלומר הסדר של החבורה, $|S_{3}|$ , הוא 6.
לפי הגדרה, הסדר, $o(e)$ , של איבר היחידה, $e$ , הוא 1. הסדר של כל אחד מהאיברים $s,t,w$ הוא 2 (מכפלת כל אחד מאיברים אלה בעצמו היא איבר היחידה), והסדר של כל אחד מהאיברים $u,v$ הוא 3.