חבורת גלואה
במתמטיקה, ובפרט בתורת גלואה, חבורת גלואה של הרחבת שדות $ \ E/F $ היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה $ \ E $, המעבירים כל איבר של השדה $ \ F $ לעצמו.
חבורה זו נקראת על שם אווריסט גלואה, אבי תורת החבורות.
לחבורה זו חשיבות גדולה באפיון ההרחבה $ \ E/F $, זאת בזכות המשפט היסודי של תורת גלואה המציג את הקשר בין שדות הביניים של ההרחבה, לבין תת החבורות של חבורת הגלואה של ההרחבה.
הגדרה
יהי $ \ F $ שדה, ותהי $ \ E/F $ הרחבת שדות. חבורת הגלואה של ההרחבה $ \ E/F $ המסומנת ב$ \ \operatorname {G} \left(E/F\right) $, $ \operatorname {Aut} \left(E/F\right) $ או ב$ \ \operatorname {Gal} \left(E/F\right) $ מוגדרת להיות
$ \ \operatorname {G} \left(E/F\right)=\{\sigma \in \operatorname {Aut} \left(E\right)|\sigma (x)=x;\forall x\in F\} $
כאשר $ \operatorname {Aut} \left(E\right) $ היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה $ \ E $.
קל לבדוק שזוהי אכן חבורה.
דוגמאות
- חבורת הגלואה של ההרחבה $ \ \mathbb {C} /\mathbb {R} $ היא קבוצה המכילה שני איברים: את העתקת הזהות, ואת העתקת ההצמדה. זאת מאחר שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \sigma בחבורת הגלואה של ההרחבה, מתקיים $ \sigma \left(i^{2}+1\right)=\sigma (i)^{2}+1=0 $. לכן $ \sigma (i)\in \{-i,i\} $. לכן מתקיים לכל $ a,b\in \mathbb {R} $ כי $ \ \sigma (a+bi)=\sigma (a)+\sigma (b)\sigma (i)=a+b\cdot \sigma (i) $. במעבר האחרון השתמשנו בכך ש$ \ \sigma $ משאירה את איברי $ \mathbb {R} $ במקום. לכן $ \sigma \left(a+bi\right)=a+bi $ או $ \sigma \left(a+bi\right)=a-bi $.
- באופן דומה, ניתן להראות כי חבורת הגלואה של ההרחבה $ \ \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)/\mathbb {Q} $ מכילה שני איברים: העתקת הזהות, והעתקת ההצמדה: $ \sigma \left(a+b{\sqrt {2}}\right)=a-b{\sqrt {2}} $
- חבורת הגלואה של ההרחבה $ \ \mathbb {R} /\mathbb {Q} $ מכילה רק את העתקת הזהות. יתרה מזאת, חבורת האוטומורפיזמים של $ \ \mathbb {R} $ מכילה רק את העתקת הזהות. כדי להוכיח זאת, יש לשים לב שאוטומורפיזם של $ \ \mathbb {R} $ מעביר כל מספר חיובי למספר חיובי, מאחר ש$ \ \sigma (a^{2})=\sigma (a)^{2} $ ולכן שומרת על יחס סדר.
- תהי $ \ F/\mathbb {Q} $ הרחבת שדות. אזי חבורת הגלואה של $ \ F/\mathbb {Q} $ היא חבורת האוטומורפיזמים של $ \ F $, כלומר $ \ \operatorname {Aut} \left(F\right) $. זאת מאחר שהומומורפיזם של שדות מעביר את המספרים השלמים לעצמם, ולכן גם את המספרים הרציונליים לעצמם.
- יהי $ \ p $ מספר ראשוני, ותהי $ \ K/\mathbb {F} _{p} $ הרחבת שדות, אזי באופן דומה חבורת הגלואה של $ \ K/\mathbb {F} _{p} $ היא חבורת האוטומורפיזמים של $ \ K $, כלומר $ \ \operatorname {Aut} \left(K\right) $.
- חבורת הגלואה של ההרחבה $ \ \mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)/\mathbb {Q} $ מכילה רק את העתקת הזהות. זאת מאחר שאם $ \sigma $ בחבורה, מתקיים $ \sigma \left({\sqrt[{3}]{2}}^{3}-2\right)=\sigma ({\sqrt[{3}]{2}})^{3}-2=0 $. לכן בהכרח $ \sigma \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)={\sqrt[{3}]{2}} $. מאחר ש$ \{1,{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\} $ בסיס, נובע כי $ \sigma $ היא בהכרח העתקת הזהות.
שדה השבת
יהי $ \ E $ שדה. תהי $ \ G\leq \operatorname {Aut} \left(E\right) $ תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של $ \ E $. נגדיר את שדה השבת של $ \ G $, המסומן גם ב$ \ E^{G} $ להיות הקבוצה הבאה:
$ E^{G}=\{x\in E|\forall \sigma \in G:\sigma (x)=x\} $
כלומר, שדה השבת של $ \ G $ הוא קבוצת כל האיברים מהשדה $ \ E $ שכל איברי $ \ G $ משאירים אותם במקום.
קל לבדוק שזהו אכן שדה. מתקיים כי אם $ \ E/F $ הרחבת שדות ו-$ \ G=\operatorname {G} \left(E/F\right) $ אז $ F\leq E^{G} $.
שוויון לא בהכרח מתקיים, למשל אם $ \ F=\mathbb {Q} $ ו-$ \ E=\mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}}\right) $, אז ראינו קודם ש-$ \ G $ מכילה רק את העתקת הזהות ולכן מתקיים כי $ \ F\neq E^{G}=E $
תכונות
- אם ההרחבה $ \ E/F $ מממד סופי, מתקיים כי $ \ \left|\operatorname {G} \left(E/F\right)\right|\leq \left[E:F\right] $, כאשר צד שמאל הוא גודל חבורת הגלואה וצד ימין הוא ממד ההרחבה.
- השוויון $ \ \left|\operatorname {G} \left(E/F\right)\right|=\left[E:F\right] $ מתקיים אם ורק אם $ \ E/F $ הרחבת גלואה. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר שהן מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה.
- הלמה של ארטין: יהי $ \ E $ שדה, ו$ \ G\leq \operatorname {Aut} \left(E\right) $ תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של $ \ E $. אזי אם $ \ E^{G}=F $ מתקיים $ |G|\leq \left[E:F\right] $. מתקיים אפילו $ G=\operatorname {G} \left(E/F\right) $
קישורים חיצוניים
- חבורת גלואה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
- חבורת גלואה, באתר MathWorld (באנגלית)
חבורת גלואה23770649