חבורת גלואה

במתמטיקה, ובפרט בתורת גלואה, חבורת גלואה של הרחבת שדות $\ E/F$ היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה $\ E$ , המעבירים כל איבר של השדה $\ F$ לעצמו.

חבורה זו נקראת על שם אווריסט גלואה, אבי תורת החבורות.

לחבורה זו חשיבות גדולה באפיון ההרחבה $\ E/F$ , זאת בזכות המשפט היסודי של תורת גלואה המציג את הקשר בין שדות הביניים של ההרחבה, לבין תת החבורות של חבורת הגלואה של ההרחבה.

הגדרה

יהי $\ F$ שדה, ותהי $\ E/F$ הרחבת שדות. חבורת הגלואה של ההרחבה $\ E/F$ המסומנת ב $\ \operatorname {G} \left(E/F\right)$ , $\operatorname {Aut} \left(E/F\right)$ או ב $\ \operatorname {Gal} \left(E/F\right)$ מוגדרת להיות

$\ \operatorname {G} \left(E/F\right)=\{\sigma \in \operatorname {Aut} \left(E\right)|\sigma (x)=x;\forall x\in F\}$

כאשר $\operatorname {Aut} \left(E\right)$ היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה $\ E$ .

קל לבדוק שזוהי אכן חבורה.

דוגמאות

חבורת הגלואה של ההרחבה $\ \mathbb {C} /\mathbb {R}$ היא קבוצה המכילה שני איברים: את העתקת הזהות, ואת העתקת ההצמדה. זאת מאחר שאם $\sigma$ בחבורת הגלואה של ההרחבה, מתקיים $\sigma \left(i^{2}+1\right)=\sigma (i)^{2}+1=0$ . לכן $\sigma (i)\in \{-i,i\}$ . לכן מתקיים לכל $a,b\in \mathbb {R}$ כי $\ \sigma (a+bi)=\sigma (a)+\sigma (b)\sigma (i)=a+b\cdot \sigma (i)$ . במעבר האחרון השתמשנו בכך ש $\ \sigma$ משאירה את איברי $\mathbb {R}$ במקום. לכן $\sigma \left(a+bi\right)=a+bi$ או $\sigma \left(a+bi\right)=a-bi$ .
באופן דומה, ניתן להראות כי חבורת הגלואה של ההרחבה $\ \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)/\mathbb {Q}$ מכילה שני איברים: העתקת הזהות, והעתקת ההצמדה: $\sigma \left(a+b{\sqrt {2}}\right)=a-b{\sqrt {2}}$
חבורת הגלואה של ההרחבה $\ \mathbb {R} /\mathbb {Q}$ מכילה רק את העתקת הזהות. יתרה מזאת, חבורת האוטומורפיזמים של $\ \mathbb {R}$ מכילה רק את העתקת הזהות. כדי להוכיח זאת, יש לשים לב שאוטומורפיזם של $\ \mathbb {R}$ מעביר כל מספר חיובי למספר חיובי, מאחר ש $\ \sigma (a^{2})=\sigma (a)^{2}$ ולכן שומרת על יחס סדר.
תהי $\ F/\mathbb {Q}$ הרחבת שדות. אזי חבורת הגלואה של $\ F/\mathbb {Q}$ היא חבורת האוטומורפיזמים של $\ F$ , כלומר $\ \operatorname {Aut} \left(F\right)$ . זאת מאחר שהומומורפיזם של שדות מעביר את המספרים השלמים לעצמם, ולכן גם את המספרים הרציונליים לעצמם.
יהי $\ p$ מספר ראשוני, ותהי $\ K/\mathbb {F} _{p}$ הרחבת שדות, אזי באופן דומה חבורת הגלואה של $\ K/\mathbb {F} _{p}$ היא חבורת האוטומורפיזמים של $\ K$ , כלומר $\ \operatorname {Aut} \left(K\right)$ .
חבורת הגלואה של ההרחבה $\ \mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)/\mathbb {Q}$ מכילה רק את העתקת הזהות. זאת מאחר שאם $\sigma$ בחבורה, מתקיים $\sigma \left({\sqrt[{3}]{2}}^{3}-2\right)=\sigma ({\sqrt[{3}]{2}})^{3}-2=0$ . לכן בהכרח $\sigma \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)={\sqrt[{3}]{2}}$ . מאחר ש $\{1,{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\}$ בסיס, נובע כי $\sigma$ היא בהכרח העתקת הזהות.

שדה השבת

יהי $\ E$ שדה. תהי $\ G\leq \operatorname {Aut} \left(E\right)$ תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של $\ E$ . נגדיר את שדה השבת של $\ G$ , המסומן גם ב $\ E^{G}$ להיות הקבוצה הבאה:

$E^{G}=\{x\in E|\forall \sigma \in G:\sigma (x)=x\}$

כלומר, שדה השבת של $\ G$ הוא קבוצת כל האיברים מהשדה $\ E$ שכל איברי $\ G$ משאירים אותם במקום.

קל לבדוק שזהו אכן שדה. מתקיים כי אם $\ E/F$ הרחבת שדות ו- $\ G=\operatorname {G} \left(E/F\right)$ אז $F\leq E^{G}$ .

שוויון לא בהכרח מתקיים, למשל אם $\ F=\mathbb {Q}$ ו- $\ E=\mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)$ , אז ראינו קודם ש- $\ G$ מכילה רק את העתקת הזהות ולכן מתקיים כי $\ F\neq E^{G}=E$

תכונות

אם ההרחבה $\ E/F$ מממד סופי, מתקיים כי $\ \left|\operatorname {G} \left(E/F\right)\right|\leq \left[E:F\right]$ , כאשר צד שמאל הוא גודל חבורת הגלואה וצד ימין הוא ממד ההרחבה.
השוויון $\ \left|\operatorname {G} \left(E/F\right)\right|=\left[E:F\right]$ מתקיים אם ורק אם $\ E/F$ הרחבת גלואה. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר שהן מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה.
הלמה של ארטין: יהי $\ E$ שדה, ו $\ G\leq \operatorname {Aut} \left(E\right)$ תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של $\ E$ . אזי אם $\ E^{G}=F$ מתקיים $|G|\leq \left[E:F\right]$ . מתקיים אפילו $G=\operatorname {G} \left(E/F\right)$