שדה מספרים

בתורת המספרים ויישומיה המתמטיים, שדה מספרים הוא שדה, המהווה הרחבת שדות מממד סופי של שדה המספרים הרציונליים. כל האיברים של שדה מספרים הם מספרים אלגבריים, וגם להפך: השדה הנוצר על ידי מספר סופי של מספרים אלגבריים הוא שדה מספרים. שדות אלה מהווים אחת משתי המחלקות של שדות גלובליים.

תורת המספרים האלגברית עוסקת, במידה רבה, בהכללת תכונות של מספרים שלמים למספרים אלגבריים כלליים. מנקודת מבט זו, עניינה של תורת המספרים האלגברית הוא הכללת הידוע על שדה המספרים הרציונליים, לשדות מספרים מסובכים יותר. פעמים רבות מופעים כל שדות המספרים כרוכים יחד, בלי שניתן להבדיל באופן מהותי את המספרים הרציונליים משאר המספרים האלגבריים (לדוגמה, המבנה של סריגים אריתמטיים בחבורות לי), ובפעמים אחרות משפטים על מספרים רציונליים נכונים באותה מידה ומאותן סיבות בכל שדה מספרים.

דוגמאות

לאחר שדה המספרים הרציונליים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Q}} עצמו, שדות המספרים הקטנים ביותר הם השדות הריבועיים $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$, שממדם מעל $\mathbb {Q}$ הוא 2. השדות הציקלוטומיים, הנוצרים על ידי סיפוח של שורשי יחידה מסדר נתון, מהווים מחלקה חשובה אחרת של דוגמאות.

חוג השלמים

אוסף השלמים האלגבריים בשדה מספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} מהווה תת-חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\mathcal O}_K} , שיחסו ל-K דומה לזה של חוג המספרים השלמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} לשדה המספרים הרציונליים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Q}} (ואמנם $({\mathcal {O}})_{\mathbb {Q} }=\mathbb {Z}$). חוג השלמים הוא חוג דדקינד, ששדה השברים שלו הוא השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} . האידיאלים הראשוניים (הלא טריוויאליים) של חוג השלמים ממלאים את התפקיד של המספרים הראשוניים בין המספרים השלמים.

השדות המקומיים המכילים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} מוגדרים בעזרת הערכות דיסקרטיות, הנבנות אחת-לאחת מתוך האידיאלים הראשוניים של חוג השלמים.

ההערכות הארכימדיות

לשדה מספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} יש מספר סופי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r_1} , של שיכונים בשדה המספרים הממשיים, ועוד מספר סופי $\ 2r_{2}$ של שיכונים שאינם ממשיים בשדה המספרים המרוכבים. האחרונים מסודרים בזוגות צמודים, ומספר השיכונים הכולל מקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r_1+2r_2 = d} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} הוא הממד של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} מעל הרציונליים. ביחד, שיכונים אלה מגדירים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r_1+r_2} הערכים-המוחלטים הארכימדיים של השדה. השיכונים הממשיים מגדירים את $\ r_{1}$ הדרכים לסדר את השדה.

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} יוצר של השדה מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ r_1} הוא מספר השורשים הממשיים בפולינום המינימלי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} , בעוד ש- $\ 2r_{2}$ הוא מספר השורשים המרוכבים, שאינם ממשיים. בשפה של המכפלה הטנזורית, השיכונים הארכימדיים מתבטאים בכך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R} \cong \mathbb{R}^{r_1}\times \mathbb{C}^{r_2}} .

הדיסקרימיננטה

הדיסקרימיננטה היא כלי מרכזי בתורת המספרים האלגברית. בנוסף לדיסקרימיננטה הרגילה של הרחבת שדות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L/K} , שהיא איבר מוגדר היטב של חבורת המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K^{\times}/(K^{\times})^2} , בהרחבה של שדות מספרים אפשר לבחור בסיס של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L/K} , שכל איבריו יבואו מחוג השלמים ${\mathcal {O}}_{L}$ של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} (בסיס כזה נקרא בסיס שלם). לפעמים (למשל, כאשר חוג השלמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}_K} של K הוא ראשי), הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}_L} מהווה מודול חופשי, ואז אפשר לבחור בסיס של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L/K} שיהיה גם בסיס של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}_L/\mathcal{O}_K} . במקרים אלה, הדיסקרימיננטה היא איבר מוגדר היטב של חוג השלמים, מודולו הריבועים של חבורת האיברים ההפיכים בחוג (שהיא נוצרת סופית, על-פי משפט היחידות של דיריכלה, כלומר, קטנה באופן יחסי). בפרט, הדיסקרימיננטה של שדה מעל $\mathbb {Q}$ היא מספר שלם מוגדר היטב, משום שהאיברים ההפיכים היחידים ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} הם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm 1} . במקרה הכללי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}_L} אינו בהכרח חופשי, ואז הדיסקרימיננטה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L/K} מוגדרת כאידיאל הנוצר על ידי כל הדיסקרימיננטות של הבסיסים השלמים.

שארל הרמיט הוכיח שמספר שדות המספרים בעלי דיסקרימיננטה נתונה (מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Q}} ) הוא סופי, וקיימות טבלאות מפורטות של שדות מספרים בעלי דיסקרימיננטה קטנה.

אחד השימושים העיקריים של הדיסקרימיננטה היא בהגבלת ההתנהגות של אידיאלים ראשוניים תחת הרחבה: ראשוני (של $K$) הוא מסועף בהרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L/K} , אם ורק אם הוא מחלק את הדיסקרימיננטה. הרמן מינקובסקי הוכיח כי בכל הרחבה של שדה המספרים הרציונליים יש לפחות ראשוני מסועף אחד.

קישורים חיצוניים

• שדה מספרים, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

28733421שדה מספרים