קיום ויחידות

במתמטיקה, קיום ויחידוּת הוא מונח המציין כי קיים עצם מתמטי יחיד המקיים הגדרה נתונה.

לדוגמה, נגדיר "מספר סופר-תאום" שהוא מספר המשתתף בשני זוגות של ראשוניים תאומים. תחילה נוכיח כי קיום של מספר כזה על ידי כך שנצביע על מקרה מפורש: 5 הוא סופר תאום כי (3,5) ו-(5,7) שניהם זוגות של ראשוניים תאומים. עתה נוכיח יחידות: נניח כי קיים מקרה נוסף של סופר-תאום. כלומר קיים p ראשוני כך ש-P-2 ו-P+2 ראשוניים. שלושת הראשוניים יהיו שונים מודולו 3 ולכן אחד מהם יתחלק ב-3. אך אם ראשוני מתחלק ב-3 הוא בהכרח שווה ל-3 ולכן 3,5,7 היא האפשרות היחידה לשלשת הראשוניים. וכך הוכחנו את הקיום והיחידות של "מספר סופר תאום", ולמעשה המונח מגדיר את המספר 5.

לרוב הוכחת קיום ויחידות תתבצע בשני שלבים, כשבשלב הראשון יוכח קיום העצם (עניין שפעמים רבות אינו טריוויאלי) ובשלב השני יוכח כי עצם זה הוא יחיד. פעמים רבות העניין בקיום ויחידות הוא במציאת הגדרות טבעיות לעצמים שנבנים בדרך מפורשת, דרך שיכולה להיראות מלאכותית ולא בהכרח תדגיש את החשיבות המתמטית של העצם.

בלוגיקה מתמטית מקובל לסמן קיום ויחידות של x המקיים תכונה P בעזרת הסימון $\ \exists !x\,P(x)$. זהו רק קיצור בלתי פורמלי לפסוקים שקולים אורכים יותר המבטאים קיום ויחידות, כמו: $\exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to x=y))$ (שפירושו: קיים x המקיים את P וכל y המקיים את P שווה ל-x).

דוגמאות

• המשפט היסודי של האריתמטיקה מראה כי כל לכל מספר טבעי קיימת הצגה כמכפלת ראשוניים, וכי הצגה זו יחידה עד כדי סדר הגורמים.
• משפט הקיום והיחידות הוא משפט בסיסי בחקר משוואות דיפרנציאליות המבטיח בתנאים מסוימים, כי קיים פתרון למשוואה דיפרנציאלית וכי פתרון זה הוא יחיד.
• את שדה המספרים הממשיים ניתן להגדיר בצורה טבעית כשדה סדור שלם ארכימדי. ניתן להוכיח כי שדה הממשיים הוא היחיד המקיים תנאי זה.
• משפט בוהר-מולרופ מראה כי ישנה פונקציה יחידה המקיימת תנאים מסוימים (כשהמשמעותי מביניהם הוא $\ f(x+1)=xf(x)$ ל-x חיובי) וכי פונקציה זו היא פונקציית גמא, ובכך מספק הגדרה טבעית לפונקציה חשובה זו.
• קיים שדה סופי יחיד מכל סדר שהוא חזקה של מספר ראשוני.