הרחבה ספרבילית

באלגברה מופשטת, הרחבה ספרבילית היא הרחבה של שדות שהפולינום המינימלי של כל איבר בה הוא ספרבילי, כלומר כל שורשיו בשדה הפיצול שונים זה מזה. להרחבות ספרביליות חשיבות רבה בתורת גלואה: כל הרחבת גלואה היא ספרבילית, ולכל שדה יש סגור ספרבילי, שהוא ההרחבה האלגברית הספרבילית הגדולה ביותר של השדה.

לספרביליות יש משמעות אלגברית גם מחוץ לתורת השדות - ראו אלגברה ספרבילית.

ספרביליות של פולינומים

פולינום אי-פריק $\ f(x)$ הוא ספרבילי אם כל שורשיו בשדה הפיצול שלו שונים זה מזה. עבור פולינומים שאינם אי פריקים נמצאות בספרות שתי הגדרות שונות - לפעמים פולינום נקרא ספרבילי אם הגורמים האי-פריקים שלו הם ספריביליים, ולפעמים דורשים בנוסף שהגורמים האי-פריקים יהיו שונים זה מזה. למשל, $\ x^{n}$ הוא ספרבילי לפי ההגדרה הראשונה, אבל לא לפי השנייה.

פולינום $\ f(x)$ אינו ספרבילי (לפי ההגדרה החלשה) אם ורק אם יש לו גורם משותף לא טריוויאלי עם ההנגזרת הפורמלית שלו, $\ f'(x)$ . מתכונה זו נובע שכל פולינום אי פריק מעל שדה ממאפיין אפס הוא ספרבילי, ולכן גם כל הרחבה של שדה ממאפיין 0 היא ספרבילית. מכאן שמושג הספרביליות הוא בעל משמעות רק עבור שדות עם מאפיין שונה מאפס.

הדוגמה הטיפוסית לפולינום אי-פריק שאינו ספרבילי היא פולינום מהצורה $\ x^{p}-a$ , כאשר p הוא המאפיין של השדה. באופן כללי יותר, כל פולינום $\ f(x)=g(x^{p})$ אינו ספרבילי. את הספרביליות אפשר לזהות לפי הנגזרת (האבסטרקטית) של הפולינום: פולינום אי-פריק הוא ספרבילי אם ורק אם הנגזרת שלו אינה אפס.

הוכחה
נניח שהפולינום $f$ אי-פריק (לא קבוע) ולא ספרבילי, ונסתכל עליו בשדה הפיצול שלו. אזי ל- $f$ יש שורש c מריבוי אלגברי גבוה מ-1 ולכן אפשר לכתוב אותו בצורה $f(x)=q(x)(x-c)^{2}$ . אזי $f'(x)=(x-c)^{2}q'(x)+2(x-c)q(x)=(x-c)(2q(x)+q'(x)(x-c))$ ולכן $h=\gcd(f,f')$ הוא פולינום ש-c מאפס אותו בשדה הפיצול, כלומר או שהוא פולינום ממעלה גדולה מ-0 כך ש- $x-c\|h$ או שהוא פולינום האפס. נניח בשלילה שהוא פולינום ממעלה חיובית, אבל מאחר שאת ה-gcd אפשר לחשב באמצעות חילוק אוקלידי הוא מוגדר בשדה הבסיס F, כלומר $h\in F[x]$ . אבל $h\|f$ (הפולינום $h$ מחלק את $f$ כי הוא מחלק משותף מקסימלי שלו ושל $f'$ ) וקיבלנו סתירה לכך ש- $f$ אי-פריק. הדרך היחידה לפתור את הסתירה היא לדרוש שבהכרח $h=\gcd(f,f')=0$ (האפשרות של פולינום קבוע ממעלה 0 השונה מ-0 תיתן סתירה, כי $\gcd(f,f')=1$ מביא לסתירה כי בשדה הפיצול $0=h(c)\neq 1(c)=1$ . אבל $\gcd(f,f')=0$ אפשרי רק אם $f'=0$ . התנאי האחרון אפשרי רק כאשר המאפיין של השדה הוא p (מספר ראשוני) ו- $f(x)=g(x^{p})$ , ואז אכן $f'(x)={\frac {d}{dx}}g(x^{p})=g'(x^{p})\cdot p\cdot x^{p-1}\equiv 0{\pmod {p}}$ . בכיוון השני, אם $f'=0$ אז ניתן לראות שהפולינום הוא מהצורה $f(x)=g(x^{p})$ בשדה ממאפיין p. יהי $c$ שורש בשדה פיצול של $f$ , אזי $f(c)=g(c^{p})=0$ ובפרט $x^{p}-c^{p}\|g(x^{p})$ ולכן $x^{p}-c^{p}\|f(x)$ . אבל $x^{p}-c^{p}\equiv (x-c)^{p}{\pmod {p}}$ ולכן השורש c הוא מריבוי אלגברי גדול מ-1, ומכאן שלא כל שורשיו של $f$ שונים זה מזה. כלומר, הפולינום לא ספרבילי. מש"ל

איבר a באלגברה מעל השדה F נקרא איבר ספרבילי, אם הפולינום המינימלי שלו הוא ספרבילי (לפי ההגדרה השנייה, החזקה יותר). לאיברים בשדה הרחבה הפולינום המינימלי תמיד אי-פריק, ולכן אין הבדל בין שתי ההגדרות לעניין הספרביליות במקרה זה.