מרחב וקטורי

באלגברה ליניארית, מרחב וקטורי (קרוי גם מרחב ליניארי) הוא מערכת מתמטית מעל שדה, שבה מוגדרות פעולות של חיבור שני איברים, וכפל של איבר בסקלר מן השדה. איברי המערכת נקראים וקטורים. המרחב האוקלידי התלת־ממדי, בו ניתן לסמן כל נקודה על ידי שלושה מספרים ממשיים, הוא מרחב ווקטורי. התכונות של המרחב הווקטורי קיימות במבנים מתמטיים רבים בתחומים שונים כגון אנליזה, אלגברה, מכניקה ותורת הקוונטים. לעיתים וקטורים מסומנים בסימון מיוחד כדי להבדילם מסקלרים, למשל וקטור $u\in V$ יכול להיות מסומן גם ${\underline {u}}$, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{u}} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{u}} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{u}} .

בהנחת אקסיומת הבחירה, לכל מרחב וקטורי יש בסיס. כל הבסיסים של מרחב וקטורי הם בעלי אותו גודל, שהוא הממד של המרחב. הממד הוא המאפיין היחיד של מרחב וקטורי: כל שני מרחבים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה.

הגדרה

מרחב וקטורי מעל שדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{F}} , הוא קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V} שאבריה נקראים וקטורים;

עם פעולת חיבור שביחס אליה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V} היא חבורה אבלית (מקיימת סגירות לחיבור, אסוציאטיביות, קומוטטיביות, קיום איבר נייטרלי ${\vec {0}}_{V}$, וקיום איבר נגדי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\vec v} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec v \in V} );

ועם פעולת כפל בסקלר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{F} \times V \rightarrow V} , שמסמנים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (\alpha,\vec v) \mapsto \alpha \cdot \vec v} , כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:

1. סגירות: לכל ${\vec {v}}\in V$ ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \in \mathbb{F}} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \cdot\vec v \in V} .
2. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} הוא איבר נייטרלי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall \vec v\in V,1\cdot \vec v=\vec v} , כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} מסמן את האיבר הנייטרלי של השדה עצמו.
3. קיבוציות כפל סקלרים בווקטור (חוק הקיבּוץ): הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall\alpha,\beta\in\mathbb{F},\forall \vec v\in V,(\alpha\cdot\beta)\cdot \vec v=\alpha\cdot(\beta\cdot\vec v)}
4. פילוגיות סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים): $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\forall {\vec {v}}\in V,(\alpha +\beta )\cdot {\vec {v}}=\alpha \cdot {\vec {v}}+\beta \cdot {\vec {v}}$
5. פילוגיות וקטורים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall\alpha\in\mathbb{F},\forall\vec v,\vec u\in V,\alpha\cdot(\vec v+\vec u)=\alpha\cdot\vec v+\alpha\cdot\vec u}

דרישת החילופיות של החיבור ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} נובעת משאר האקסיומות (כפי שניתן לראות אם מפתחים את הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1+1)(u+v)} , פעם אחת לפי פילוגיות של סקלרים, ופעם שנייה לפי פילוגיות של וקטורים).

דוגמאות

• אוסף הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית הוא מרחב וקטורי.
• המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{F}^n} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -יות המורכבות מאיברים בשדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb {F}} כלשהו, כאשר החיבור הוא לפי קואורדינטות (חיבור איבר-איבר) וכך גם הכפל בסקלר. בפרט: $(x_{1},...,x_{n})+(y_{1},...,y_{n})=(x_{1}+y_{1},...,x_{n}+y_{n})$ ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c \cdot (x_1,...,x_n) = (c x_1, ..., c x_n) } . האיבר הנייטרלי לחיבור הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{0} = (0,...,0)} .
  • המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^n} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -יות מספרים ממשיים מעל שדה הממשיים.
  • המרחב האוקלידי התלת-ממדי מעל שדה הממשיים. זהו גם מרחב מכפלה פנימית ביחס למכפלה הסקלרית הסטנדרטית.
• מרחב הפונקציות הממשיות מעל שדה הממשיים.
  • מרחב הפולינומים מעל שדה $\ \mathbb {F}$. תת-המרחבים של מרחב זה המכילים פולינומים ממעלה n ומטה.
• מרחב המטריצות הממשיות (או המרוכבות) בגודל נתון מעל שדה הממשיים (או המרוכבים).
• מרחב כל ההעתקות הליניאריות מעל מרחב וקטורי נתון.
• אוסף כל תת-הקבוצות של קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_2} , כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.

מונחים

• תלות ליניארית קיימת בקבוצת וקטורים אם ניתן להציג ווקטור אחד מתוכה כצירוף ליניארי של האחרים.
• פרוש (Span) של קבוצת ווקטורים הוא קבוצת כל הצירופים הליניאריים של הווקטורים בקבוצה. קבוצת וקטורים פורשת את המרחב אם המרחב שווה לפרוש שלה.
• בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים שפורשת אותו.
• ממד המרחב הוא מספר הווקטורים בבסיס. מכיוון שמספר זה איננו תלוי בבחירת הבסיס (כלומר שווה בכל הבסיסים במרחב), המושג מוגדר היטב. ממד יכול להיות סופי או אינסופי.

תת-מרחב וקטורי

תת-מרחב וקטורי של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W} של המרחב הווקטורי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V} מעל השדה $\mathbb {F}$ מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

1. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W} אינה ריקה (מספיק לדעת שווקטור האפס שייך ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W} , כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec 0_V \in W} ).
2. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W} סגורה ביחס לחיבור. כלומר שלכל ${\vec {v}},{\vec {u}}\in W$ מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec v+\vec u\in W} .
3. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W} סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec v \in W} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \in \mathbb{F}} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \cdot\vec v \in W} .

שאר הדרישות שבהגדרת מרחב וקטורי, נובעות ישירות מהיותם של כל איברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W} איברים גם של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V} .

יריעת גרסמן מקוֹדדת את כל תת-המרחבים מממד נתון של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V}

ראו גם

• מרחב בנך
• מרחב הילברט
• מרחב נורמי
• מרחב מכפלה פנימית
• אגד וקטורי

קישורים חיצוניים

• הרצאה על תלות, פרישה בסיס וממד מתוך קורס באלגברה ליניארית שניתן ב-MIT
• סימולטור להדגמה של תלות, פרישה, בסיס וממד במרחב תלת־ממדי (ומושגים נוספים באלגברה ליניארית)
• מרחב וקטורי, באתר MathWorld (באנגלית)
• מרחב וקטורי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

39490476מרחב וקטורי