סגירות (אלגברה)

באלגברה, קבוצה נקראת סגורה תחת פעולה מסוימת המוגדרת עליה, כאשר הפעלת הפעולה על איברי הקבוצה נותנת איבר הנכלל אף הוא בקבוצה.

קבוצת המספרים השלמים החיוביים, למשל, סגורה תחת פעולות החיבור והכפל, משום שחיבור של כל שני מספרים שלמים חיוביים נותן מספר שלם חיובי, וכך גם כפל של שני מספרים שלמים חיוביים, אך אינה סגורה תחת חיסור וחילוק, משום שיש פעולות חיסור שתוצאתן היא מספר שלילי, ויש פעולות חילוק שתוצאתן היא שבר.

אם קבוצה אינה סגורה ביחס לפעולה נתונה, אפשר להרחיב אותה באופן שהקבוצה החדשה תהיה סגורה. לדוגמה, פעולת החיסור מוגדרת בין המספרים הטבעיים רק באופן חלקי ( $\ 7-3$ הוא מספר טבעי, אבל $\ 3-7$ אינו כזה), והמעבר לקבוצת המספרים השלמים פותר את הבעיה, משום שהחיסור של שני מספרים שלמים הוא מספר שלם.

במונח 'הקבוצה סגורה ביחס ל-' משתמשים באופן רחב יותר, גם כאשר אין מדובר בסגירות ביחס לפעולה, במובן הצר של המלה. למשל, סיגמא אלגברה היא משפחה של קבוצות, הנדרשת (בין השאר) לקיים את התנאי הבא: אם סדרת הקבוצות $\ A_{1},A_{2},\dots$ שייכות כולן למשפחה, אז גם האיחוד שלהן שייך למשפחה. בקיצור, אומרים שסיגמא-אלגברה "סגורה תחת איחוד בן מנייה".