משפט הגרדיאנט

במתמטיקה, משפט הגרדיאנט (ידוע גם בתור המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי לאינטגרל כפול) הוא משפט חשוב מאוד בתחום אנליזה וקטורית, ובכלל באנליזה מתמטית, ומשמש כהכללה למשפט היסודי עבור כל מישור או עקומה $n$-ממדית.

בהינתן פונקציה $\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ועקומה $\gamma$ מנקודה $\mathbf {p}$ לנקודה $\mathbf {q}$ , אז:

$\varphi (\mathbf {q} )-\varphi (\mathbf {p} )=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r}$

כאשר $\nabla \varphi$ הגרדיאנט של הפונקציה $\varphi$ .

המשפט חשוב מאוד כי ניתן להבין ממנו כי ניתן לתאר כל שדה וקטורי משמר כגרדיאנט של שדה סקלרי.

הוכחה

ידוע כי אם $\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ פונקציה גזירה עבור תת-קבוצה פתוחה $U$ , ואם $\mathbf {r} :[a,b]\to U$ פונקציה גזירה, אזי על פי כלל השרשרת הפונקציה $\varphi \circ \mathbf {r}$ היא פונקציה גזירה בתחום $(a,b)$ ומתקיים

${\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi {\bigl (}\mathbf {r} (t){\bigr )}\cdot \mathbf {r} '(t)$

לכל $t\in (a,b)$ .

עכשיו נניח כי בתחום $U$ קיימת עקומה גזירה $\gamma$ בעלת נקודות קיצון $\mathbf {p} ,\mathbf {q}$ . אם $\mathbf {r}$ מייצג פרמטר של $\gamma$ לכל $t\in [a,b]$ , אז ניתן לראות מהטענה הנ"ל כי

${\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} &=\int \limits _{a}^{b}\nabla \varphi {\bigl (}\mathbf {r} (t){\bigr )}\cdot \mathbf {r} '(t)dt\\&=\int \limits _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi {\bigl (}\mathbf {r} (t){\bigr )}dt=\varphi {\bigl (}\mathbf {r} (b){\bigr )}-\varphi {\bigl (}\mathbf {r} (a){\bigr )}=\varphi (\mathbf {q} )-\varphi (\mathbf {p} )\end{aligned}}$

כאשר השוויון הראשון נובע מהגדרת אינטגרל קווי, השוויון השלישי נובע מהמשפט היסודי.