גרדיאנט

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

המחשה של גרדיאנט. באיורים האלה, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. החצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר.

גרדיאנט הוא הכללה של מושג הנגזרת בעבור חשבון אינפיניטסימלי של מספר משתנים. הגרדיאנט הוא אופרטור וקטורי המופעל על שדה סקלרי. הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי המשייך לכל נקודה במרחב וקטור.

כיוון וקטור הגרדיאנט מצביע אל הכיוון בו השינוי בשדה הסקלרי מקסימלי (חיובי). גודל וקטור הגרדיאנט כשיעור השינוי המקסימלי.

אינטואיציה

נתבונן לדוגמה, באזור הררי. הגובה של כל נקודה ברכס ההרים יתואר על ידי פונקציה (שדה סקלרי). בכל נקודה, ניתן להסתכל על הכיוון בו השיפוע לפונקציה שהותאמה לה הוא הגדול ביותר. זהו, למעשה, הכיוון בו הגובה משתנה בצורה המהירה (החזקה) ביותר. אם נשחרר כדור בנקודה זו, הוא יתגלגל בדיוק לכיוון ההפוך (שיפוע חזק ביותר לכיוון השלילי). באופן זה, ניתן להתאים לכל נקודה וקטור בכיוון השיפוע הגדול ביותר, וגודלו נקבע על פי גודל השיפוע. וקטור זה הוא וקטור הגרדיאנט.

דוגמה נוספת היא בניית כבישים וגגות כך שהמים יתנקזו באופן יעיל. יש ליצור שיפוע קטן, על מנת שהמים יזרמו אל פתח הניקוז. המסלול שהמים מבצעים בדרכם אל המרזב, הוא הכיוון בו הגובה משתנה בצורה הכי מהירה, שהוא גם וקטור הגרדיאנט.

סימון

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} פונקציה סקלרית והגרדיאנט שלה הוא פונקציה וקטורית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec F} , נסמן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec F = \operatorname{grad} \ f = \nabla \ f = \vec \nabla \ f} כאשר ${\nabla }$ מסמל את אופרטור הגזירה דֶל (סמל המשולש עצמו נקרא בשם "נבלה") המוגדר כווקטור של נגזרות חלקיות, כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\nabla} \equiv \hat{x}\frac{\partial}{\partial x} +\hat{y} \frac{\partial}{\partial y } + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z} \equiv \left( \ \partial_x \, \ \partial_y \, \ \partial_z \right)}

מתוך ההגדרה נובע שהגרדיאנט הוא וקטור, כיוון שמכפלת וקטור (אופרטור הגזירה דֶל) בסקלר (הפונקציה הסקלרית) מחזירה וקטור (הגרדיאנט).

הגדרה פורמלית במרחב האוקלידי התלת ממדי

במרחב אוקלידי תלת ממדי, הגרדיאנט של שדה סקלרי כלשהו שמתואר על ידי קואורדינטות קרטזיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \psi(x,y,z)} מוגדר כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\nabla} \psi(x,y,z) \equiv \frac{\partial \psi(x,y,z)}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial \psi(x,y,z)}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial \psi(x,y,z)}{\partial z}\hat{z}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}\}} הם וקטורי היחידה המקבילים לצירים.

באופן כללי, עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} פונקציה סקלרית כלשהי מעל מרחב וקטורי בעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} ממדים, ניתן להגדיר את הגרדיאנט כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{grad}f(a) \equiv \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \dots , \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)}

למה וקטור גרדיאנט נותן את הכיוון בו השינוי הוא מקסימלי?

נסתכל על ההגדרה של נגזרת כיוונית, ונשאל מהו הווקטור שבו המכפלה הסקלרית עם וקטור הגרדיאנט תהיה מקסימלית? מהגדרת המכפלה הסקלרית, ברור שהמקסימום יתקבל כאשר הזווית בין הווקטורים תהיה אפס (קוסינוס מקבל ערך מקסימלי באפס), ומכאן נובע שהווקטור שבו המכפלה הסקלרית תהיה מקסימלית היא וקטור הגרדיאנט עצמו.

דוגמה

הפוטנציאל הוא שדה סקלרי $\ U({\vec {r}})$, והכוח שפועל על חלקיק שנמצא בהשראת אנרגיה פוטנציאלית הוא הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec{F}(\vec{r}) = -{\nabla}U(\vec{r})} (ראה דוגמאות ספציפיות בערך אנרגיה פוטנציאלית). לכן, הכוח שיפעל על הגוף ימשוך אותו לכיוון בו הפוטנציאל יקטן הכי הרבה.

דוגמה נוספת (חישובית):

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(\mathbf{r}) = |\mathbf{r}| = r} שדה סקלרי (הגזיר בכל מקום פרט ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{r}=0} ). אזי הגרדיאנט שלו (בקואורדינטות קרטזיות) הוא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\nabla} f = \frac{\partial r}{\partial x} \hat{\mathbf{e}}_x + \frac{\partial r}{\partial y} \hat{\mathbf{e}}_y + \frac{\partial r}{\partial z} \hat{\mathbf{e}}_z = \frac{ x \hat{\mathbf{e}}_x + y \hat{\mathbf{e}}_y + z \hat{\mathbf{e}}_z }{ \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2} } = \frac{\mathbf{r}}{r} = \hat{\mathbf{r}}}

שכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} r = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \frac{2 x}{2 \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} .
כדאי לשים לב שהחישוב הוא מיידי בקואורדינטות כדוריות, שם הגרדיאנט נתון על ידי הנוסחה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat{\mathbf{r}} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \hat{\mathbf{ \theta}} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \hat{\mathbf{\phi}}}

ומאחר ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial r}{\partial \theta} = 0 = \frac{\partial r}{\partial \phi}} מקבלים ש-

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\partial r}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}={\hat {\mathbf {r} }}$.

כצפוי, בשתי הדרכים קיבלנו תוצאה זהה.

גרדיאנט באנליזה על יריעות

את הגרדיאנט יותר טבעי להגדיר דווקא כפונקציונל הנקרא "דיפרנציאל":

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ df = \sum_{\mu} \frac{ \partial f}{ \partial x^\mu} dx^\mu }

פונקציונל זה מקבל וקטור v ומחזיר את הסקלר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ( df ) (\vec{v}) = \lang df , \vec{v} \rang = \sum_{\mu} v^\mu \frac{ \partial f}{ \partial x^\mu} }

האות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} הכתובה בכתיב עילי מייצגת אינדקס רץ שמייצג קואורדינטה של וקטור ולא חזקה.

במרחב עם מטריקה, אפשר להגדיר את הגרדיאנט כווקטור על ידי "העלאת אינדקסים", כלומר, על ידי התאמת וקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\nabla} f} ל-df כך ש

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ df( \vec{v} ) = g( \vec{v} , {\nabla} f) }

כאשר g היא המטריקה: תבנית ביליניארית סימטרית וחיובית בהחלט.

בקואורדינטות אפשר לכתוב את וקטור הגרדיאנט כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {\nabla} f = \sum_{\mu , \nu} g^{\mu \nu} (df)_{\nu} \partial_\mu = \sum_\mu \left( \sum_{\nu} g^{\mu \nu} \frac{ \partial f}{\partial x^\nu} \right) \partial_\mu }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g^{\mu \nu} } הוא האיבר בשורה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} והעמודה ה--הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} של המטריקה ההופכית (כלומר: המטריצה ההופכית למטריקה, g^-1) ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial_\mu = \frac{\partial \vec{r} }{\partial x^\mu}} הם הווקטורים המשיקים הפורשים את המרחב המשיק בנקודה.

גרדיאנט במערכת קואורדינטות אורתוגונליות כלשהי

נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (q_1 , q_2 , q_3)} . כלומר, וקטורי היחידה המתאימים מקיימים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j = \delta_{ij}}

כאשר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \textrm{ If } \ i=j \\ 0 & \textrm{ If } \ i \neq j \end{cases} }

הוא הדלתא של קרונקר.

הווקטורים המשיקים הם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i} = h_i \hat{\mathbf{e}}_i } .

נרשום צורה כללית לגרדיאנט של פונקציה סקלרית כלשהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} :

$\nabla f=\sum _{i=1}^{3}f_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$

ונמצא את המקדמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1 , f_2 , f_3} .

לשם כך נחשב את הדיפרנציאל של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle df = \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial f}{\partial q_i} dq_i}

מתקיים ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle df = \nabla f \cdot d\mathbf{r}} אבל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d\mathbf{r} = \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}dq_i = \sum_{i=1}^{3} h_i \hat{\mathbf{e}}_i dq_i }

ולכן, כיוון שווקטורי היחידה המשיקים הם אורתוגונליים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{\mathbf{e}}_i \cdot \hat{\mathbf{e}}_j = \delta_{ij}} מתקיים

$\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}dq_{i}=df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{3}f_{i}h_{i}dq_{i}$

מכיוון ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dq_1, dq_2 , dq_3} בלתי תלויים נשווה מקדמים איבר איבר ונקבל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_i = \frac{1}{h_i} \frac{\partial f}{\partial q_i} }

ומכאן נקבל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla f= \sum_{i=1}^{3} \frac{1}{h_i} \frac{ \partial f}{\partial q_i} \hat{\mathbf{e}}_i = \frac{1}{h_1} \frac{\partial f}{\partial q^1} \hat{\mathbf{e}}_1+ \frac{1}{h_2} \frac{\partial f}{\partial q^2} \hat{\mathbf{e}}_2 + \frac{1}{h_3} \frac{\partial f}{\partial q^3} \hat{\mathbf{e}}_3 }

כנדרש.

הערה: ההכללה לממד כלשהו n מיידית. עובדים עם הצגת הסכומים כ-$\Sigma$ ונותנים לכל אינדקס לרוץ מ-1 עד n.

הוכחה המבוססת על גאומטריה דיפרנציאלית

נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (q^1 , q^2 , q^3)} .

הווקטורים המשיקים הם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial_{q^i} = \frac{ \partial \mathbf{r} }{\partial q^i} = h_i \hat{\mathbf{e}}_i} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{\mathbf{e}}_i} הם וקטורים משיקים מנורמלים ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_i} הם ה-scale factors.

הטנזור המטרי במקרה של קואורדינטות אורתוגונליות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g = \mbox{diag}(h_1^2 , h_2^2 , h_3^2)}

הוא מטריצה אלכסונית, ונזכור ש-

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ dq^i = \sum_j g^{ij} \partial_{q^j}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g^{ij} = g^{-1} = \mbox{diag}( 1/h_1^2 , 1/h_2^2 , 1/h_3^2 )} היא המטריצה ההופכית ל-g.

נציב בהגדרת הגרדיאנט,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla f = \sum_i \frac{ \partial f}{\partial q^i} dq^i = \sum_{ij} g^{ij} \frac{\partial f}{\partial q^i} \partial_{q^j} = \sum_{ij} \frac{1}{h_i^2} \delta^{ij} \frac{\partial f}{\partial q^i} \partial_{q^j} = \sum_i \frac{1}{h_i^2} \frac{ \partial f}{\partial q^i} h_i \hat{\mathbf{e}}_i}

(המעבר השלישי נעשה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g^{ij}} מטריצה אלכסונית, $g^{ij}=(1/h_{i}^{2})\delta ^{ij}$ כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta^{ij}} היא הדלתא של קרונקר)
ובסך הכול נקבל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla f= \frac{1}{h_1} \frac{\partial f}{\partial q^1} \hat{\mathbf{e}}_1+ \frac{1}{h_2} \frac{\partial f}{\partial q^2} \hat{\mathbf{e}}_2 + \frac{1}{h_3} \frac{\partial f}{\partial q^3} \hat{\mathbf{e}}_3 }

קשרים בין אופרטורים

• • דיברגנץ, גרדיאנט ולפלסיאן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{div} \ \operatorname{grad} = \Delta}

משפט הגרדיאנט

משפט הגרדיאנט אומר שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(\mathbf{r}) = f(x,y,z)} היא שדה סקלרי (פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}} ) חלק מספיק (גזיר ברציפות), אזי לכל מסילה שמתחילה בנקודה כלשהי A ומסתיימת בנקודה כלשהי B האינטגרל הקווי על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla f} לאורך המסילה לא תלוי במסילה עצמה אלא רק בנקודות הקצה ומתקיים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_\mathbf{A}^\mathbf{B} \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(\mathbf{B})-f(\mathbf{A})}

לשדה הווקטורי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla f} קוראים "שדה וקטורי משמר" או בהקשר של פיזיקה "כוח משמר" ומתקיים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla \times \nabla f = 0}

ראו גם

• פונקציונל
• טנזור
• קואורדינטות
• דיברגנץ

לקריאה נוספת

• מורי ר. שפיגל, אנליזה וקטורית, סדרת שאום

קישורים חיצוניים

• גרדיאנט, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• גרדיאנט, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

גרדיאנט30135283Q173582