בערך זהסימון מתמטי .
המחשה של גרדיאנט. באיורים האלה, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. החצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר. גרדיאנט הוא הכללה של מושג הנגזרת בעבור חשבון אינפיניטסימלי של מספר משתנים. הגרדיאנט הוא אופרטור וקטורי המופעל על שדה סקלרי . הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי המשייך לכל נקודה במרחב וקטור.
כיוון וקטור הגרדיאנט מצביע אל הכיוון בו השינוי בשדה הסקלרי מקסימלי (חיובי). גודל וקטור הגרדיאנט כשיעור השינוי המקסימלי.
אינטואיציה נתבונן לדוגמה, באזור הררי. הגובה של כל נקודה ברכס ההרים יתואר על ידי פונקציה (שדה סקלרי). בכל נקודה, ניתן להסתכל על הכיוון בו השיפוע לפונקציה שהותאמה לה הוא הגדול ביותר. זהו, למעשה, הכיוון בו הגובה משתנה בצורה המהירה (החזקה) ביותר. אם נשחרר כדור בנקודה זו, הוא יתגלגל בדיוק לכיוון ההפוך (שיפוע חזק ביותר לכיוון השלילי). באופן זה, ניתן להתאים לכל נקודה וקטור בכיוון השיפוע הגדול ביותר, וגודלו נקבע על פי גודל השיפוע. וקטור זה הוא וקטור הגרדיאנט.
דוגמה נוספת היא בניית כבישים וגגות כך שהמים יתנקזו באופן יעיל. יש ליצור שיפוע קטן, על מנת שהמים יזרמו אל פתח הניקוז. המסלול שהמים מבצעים בדרכם אל המרזב, הוא הכיוון בו הגובה משתנה בצורה הכי מהירה, שהוא גם וקטור הגרדיאנט.
סימון אם
f
{\displaystyle \ f}
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
F
→
=
grad
f
=
∇
f
=
∇
→
f
{\displaystyle {\vec {F}}=\operatorname {grad} \ f=\nabla \ f={\vec {\nabla }}\ f}
כאשר
∇
{\displaystyle {\nabla }}
מסמל את אופרטור הגזירה דֶל (סמל המשולש עצמו נקרא בשם "
נבלה ") המוגדר כ
ווקטור של
נגזרות חלקיות , כלומר:
∇
≡
x
^
∂
∂
x
+
y
^
∂
∂
y
+
z
^
∂
∂
z
≡
(
∂
x
∂
y
∂
z
)
{\displaystyle {\nabla }\equiv {\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\equiv \left(\ \partial _{x}\,\ \partial _{y}\,\ \partial _{z}\right)}
מתוך ההגדרה נובע שהגרדיאנט הוא וקטור, כיוון שמכפלת וקטור (אופרטור הגזירה דֶל) בסקלר (הפונקציה הסקלרית) מחזירה וקטור (הגרדיאנט).
הגדרה פורמלית במרחב האוקלידי התלת ממדי במרחב אוקלידי תלת ממדי, הגרדיאנט של שדה סקלרי כלשהו שמתואר על ידי קואורדינטות קרטזיות
ψ
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \ \psi (x,y,z)}
∇
ψ
(
x
,
y
,
z
)
≡
∂
ψ
(
x
,
y
,
z
)
∂
x
x
^
+
∂
ψ
(
x
,
y
,
z
)
∂
y
y
^
+
∂
ψ
(
x
,
y
,
z
)
∂
z
z
^
{\displaystyle {\nabla }\psi (x,y,z)\equiv {\frac {\partial \psi (x,y,z)}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \psi (x,y,z)}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \psi (x,y,z)}{\partial z}}{\hat {z}}}
כאשר
{
x
^
,
y
^
,
z
^
}
{\displaystyle \{{\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}\}}
וקטורי היחידה המקבילים לצירים.
באופן כללי, עבור
f
{\displaystyle \ f}
פונקציה סקלרית כלשהי מעל מרחב וקטורי בעל
n
{\displaystyle \ n}
grad
f
(
a
)
≡
(
∂
f
∂
x
1
(
a
)
,
∂
f
∂
x
2
(
a
)
,
…
,
∂
f
∂
x
n
(
a
)
)
{\displaystyle \operatorname {grad} f(a)\equiv \left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a),\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right)}
למה וקטור גרדיאנט נותן את הכיוון בו השינוי הוא מקסימלי? נסתכל על ההגדרה של נגזרת כיוונית , ונשאל מהו הווקטור שבו המכפלה הסקלרית עם וקטור הגרדיאנט תהיה מקסימלית? מהגדרת המכפלה הסקלרית, ברור שהמקסימום יתקבל כאשר הזווית בין הווקטורים תהיה אפס (קוסינוס מקבל ערך מקסימלי באפס), ומכאן נובע שהווקטור שבו המכפלה הסקלרית תהיה מקסימלית היא וקטור הגרדיאנט עצמו.
דוגמה הפוטנציאל הוא שדה סקלרי
U
(
r
→
)
{\displaystyle \ U({\vec {r}})}
F
→
(
r
→
)
=
−
∇
U
(
r
→
)
{\displaystyle \ {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\nabla }U({\vec {r}})}
אנרגיה פוטנציאלית ). לכן, הכוח שיפעל על הגוף ימשוך אותו לכיוון בו הפוטנציאל יקטן הכי הרבה.
דוגמה נוספת (חישובית):
יהי
f
(
r
)
=
|
r
|
=
r
{\displaystyle f(\mathbf {r} )=|\mathbf {r} |=r}
שדה סקלרי (הגזיר בכל מקום פרט ל-
r
=
0
{\displaystyle \mathbf {r} =0}
קואורדינטות קרטזיות ) הוא
∇
f
=
∂
r
∂
x
e
^
x
+
∂
r
∂
y
e
^
y
+
∂
r
∂
z
e
^
z
=
x
e
^
x
+
y
e
^
y
+
z
e
^
z
x
2
+
y
2
+
z
2
=
r
r
=
r
^
{\displaystyle {\nabla }f={\frac {\partial r}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\frac {\partial r}{\partial y}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+{\frac {\partial r}{\partial z}}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}={\frac {x{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+y{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+z{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}={\frac {\mathbf {r} }{r}}={\hat {\mathbf {r} }}}
שכן
∂
∂
x
r
=
∂
∂
x
x
2
+
y
2
+
z
2
=
2
x
2
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}r={\frac {\partial }{\partial x}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}={\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}}
קואורדינטות כדוריות , שם הגרדיאנט נתון על ידי הנוסחה
∇
f
=
∂
f
∂
r
r
^
+
1
r
∂
f
∂
θ
θ
^
+
1
r
sin
θ
∂
f
∂
ϕ
ϕ
^
{\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {\mathbf {\theta } }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {\mathbf {\phi } }}}
ומאחר ש
∂
r
∂
θ
=
0
=
∂
r
∂
ϕ
{\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial \theta }}=0={\frac {\partial r}{\partial \phi }}}
∇
f
=
∂
f
∂
r
r
^
=
∂
r
∂
r
r
^
=
r
^
{\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\partial r}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}={\hat {\mathbf {r} }}}
כצפוי, בשתי הדרכים קיבלנו תוצאה זהה.
גרדיאנט באנליזה על יריעות את הגרדיאנט יותר טבעי להגדיר דווקא כפונקציונל הנקרא "דיפרנציאל ":
d
f
=
∑
μ
∂
f
∂
x
μ
d
x
μ
{\displaystyle \ df=\sum _{\mu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}dx^{\mu }}
פונקציונל זה מקבל וקטור v ומחזיר את הסקלר
(
d
f
)
(
v
→
)
=
⟨
d
f
,
v
→
⟩
=
∑
μ
v
μ
∂
f
∂
x
μ
{\displaystyle \ (df)({\vec {v}})=\langle df,{\vec {v}}\rangle =\sum _{\mu }v^{\mu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}}
האות
μ
{\displaystyle \mu }
אינדקס רץ שמייצג קואורדינטה של וקטור ולא חזקה .
במרחב עם מטריקה , אפשר להגדיר את הגרדיאנט כווקטור על ידי "העלאת אינדקסים ", כלומר, על ידי התאמת וקטור
∇
f
{\displaystyle {\nabla }f}
d
f
(
v
→
)
=
g
(
v
→
,
∇
f
)
{\displaystyle \ df({\vec {v}})=g({\vec {v}},{\nabla }f)}
כאשר g היא המטריקה: תבנית ביליניארית סימטרית וחיובית בהחלט.
בקואורדינטות אפשר לכתוב את וקטור הגרדיאנט כך:
∇
f
=
∑
μ
,
ν
g
μ
ν
(
d
f
)
ν
∂
μ
=
∑
μ
(
∑
ν
g
μ
ν
∂
f
∂
x
ν
)
∂
μ
{\displaystyle \ {\nabla }f=\sum _{\mu ,\nu }g^{\mu \nu }(df)_{\nu }\partial _{\mu }=\sum _{\mu }\left(\sum _{\nu }g^{\mu \nu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\nu }}}\right)\partial _{\mu }}
כאשר
g
μ
ν
{\displaystyle g^{\mu \nu }}
μ
{\displaystyle \mu }
ν
{\displaystyle \nu }
מטריצה ההופכית למטריקה, g-1 ) ו-
∂
μ
=
∂
r
→
∂
x
μ
{\displaystyle \partial _{\mu }={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x^{\mu }}}}
גרדיאנט במערכת קואורדינטות אורתוגונליות כלשהי נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
{\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})}
e
^
i
⋅
e
^
j
=
δ
i
j
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}}
כאשר
δ
i
j
=
{
1
If
i
=
j
0
If
i
≠
j
{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&{\textrm {If}}\ i=j\\0&{\textrm {If}}\ i\neq j\end{cases}}}
הוא הדלתא של קרונקר .
הווקטורים המשיקים הם
∂
r
∂
q
i
=
h
i
e
^
i
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}
נרשום צורה כללית לגרדיאנט של פונקציה סקלרית כלשהי
f
{\displaystyle f}
∇
f
=
∑
i
=
1
3
f
i
e
^
i
{\displaystyle \nabla f=\sum _{i=1}^{3}f_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}
ונמצא את המקדמים
f
1
,
f
2
,
f
3
{\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}
לשם כך נחשב את הדיפרנציאל של
f
{\displaystyle f}
d
f
=
∑
i
=
1
3
∂
f
∂
q
i
d
q
i
{\displaystyle df=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}dq_{i}}
מתקיים ש-
d
f
=
∇
f
⋅
d
r
{\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} }
d
r
=
∑
i
=
1
3
∂
r
∂
q
i
d
q
i
=
∑
i
=
1
3
h
i
e
^
i
d
q
i
{\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}dq_{i}=\sum _{i=1}^{3}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}dq_{i}}
ולכן, כיוון שווקטורי היחידה המשיקים הם אורתוגונליים
e
^
i
⋅
e
^
j
=
δ
i
j
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}}
∑
i
=
1
3
∂
f
∂
q
i
d
q
i
=
d
f
=
∇
f
⋅
d
r
=
∑
i
=
1
3
f
i
h
i
d
q
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}dq_{i}=df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{3}f_{i}h_{i}dq_{i}}
מכיוון ש-
d
q
1
,
d
q
2
,
d
q
3
{\displaystyle dq_{1},dq_{2},dq_{3}}
f
i
=
1
h
i
∂
f
∂
q
i
{\displaystyle f_{i}={\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}}
ומכאן נקבל
∇
f
=
∑
i
=
1
3
1
h
i
∂
f
∂
q
i
e
^
i
=
1
h
1
∂
f
∂
q
1
e
^
1
+
1
h
2
∂
f
∂
q
2
e
^
2
+
1
h
3
∂
f
∂
q
3
e
^
3
{\displaystyle \nabla f=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{1}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{2}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{3}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}
כנדרש.
הערה: ההכללה לממד כלשהו n מיידית. עובדים עם הצגת הסכומים כ-
Σ
{\displaystyle \Sigma }
נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית
(
q
1
,
q
2
,
q
3
)
{\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})}
הווקטורים המשיקים הם:
∂
q
i
=
∂
r
∂
q
i
=
h
i
e
^
i
{\displaystyle \partial _{q^{i}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}=h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}
e
^
i
{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}
מנורמלים ו-
h
i
{\displaystyle h_{i}}
scale factors .
הטנזור המטרי במקרה של קואורדינטות אורתוגונליות
g
=
diag
(
h
1
2
,
h
2
2
,
h
3
2
)
{\displaystyle g={\mbox{diag}}(h_{1}^{2},h_{2}^{2},h_{3}^{2})}
הוא מטריצה אלכסונית , ונזכור ש-
d
q
i
=
∑
j
g
i
j
∂
q
j
{\displaystyle \ dq^{i}=\sum _{j}g^{ij}\partial _{q^{j}}}
כאשר
g
i
j
=
g
−
1
=
diag
(
1
/
h
1
2
,
1
/
h
2
2
,
1
/
h
3
2
)
{\displaystyle g^{ij}=g^{-1}={\mbox{diag}}(1/h_{1}^{2},1/h_{2}^{2},1/h_{3}^{2})}
מטריצה ההופכית ל-g.
נציב בהגדרת הגרדיאנט,
∇
f
=
∑
i
∂
f
∂
q
i
d
q
i
=
∑
i
j
g
i
j
∂
f
∂
q
i
∂
q
j
=
∑
i
j
1
h
i
2
δ
i
j
∂
f
∂
q
i
∂
q
j
=
∑
i
1
h
i
2
∂
f
∂
q
i
h
i
e
^
i
{\displaystyle \nabla f=\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}dq^{i}=\sum _{ij}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{q^{j}}=\sum _{ij}{\frac {1}{h_{i}^{2}}}\delta ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{q^{j}}=\sum _{i}{\frac {1}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}
(המעבר השלישי נעשה כי
g
i
j
{\displaystyle g^{ij}}
מטריצה אלכסונית ,
g
i
j
=
(
1
/
h
i
2
)
δ
i
j
{\displaystyle g^{ij}=(1/h_{i}^{2})\delta ^{ij}}
δ
i
j
{\displaystyle \delta ^{ij}}
הדלתא של קרונקר )
∇
f
=
1
h
1
∂
f
∂
q
1
e
^
1
+
1
h
2
∂
f
∂
q
2
e
^
2
+
1
h
3
∂
f
∂
q
3
e
^
3
{\displaystyle \nabla f={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{1}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{2}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{3}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}
קשרים בין אופרטורים דיברגנץ , גרדיאנט ולפלסיאן :
div
grad
=
Δ
{\displaystyle \operatorname {div} \ \operatorname {grad} =\Delta }
משפט הגרדיאנט משפט הגרדיאנט אומר שאם
f
(
r
)
=
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(x,y,z)}
שדה סקלרי (פונקציה
f
:
R
3
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }
מסילה שמתחילה בנקודה כלשהי A ומסתיימת בנקודה כלשהי B האינטגרל הקווי על
∇
f
{\displaystyle \nabla f}
∫
A
B
∇
f
⋅
d
r
=
f
(
B
)
−
f
(
A
)
{\displaystyle \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\nabla f\cdot d\mathbf {r} =f(\mathbf {B} )-f(\mathbf {A} )}
לשדה הווקטורי
∇
f
{\displaystyle \nabla f}
שדה וקטורי משמר " או בהקשר של פיזיקה "כוח משמר " ומתקיים
∇
×
∇
f
=
0
{\displaystyle \nabla \times \nabla f=0}
ראו גם לקריאה נוספת קישורים חיצוניים
30135283 גרדיאנט
