ד'אלמברטיאן

במתמטיקה ופיזיקה, בעיקר בתחומים תורת היחסות הפרטית, אלקטרומגנטיות ותורת הגלים, אופרטור ד'אלמבר או ד'אלמברטיאן, המסומל באמצעות $ \scriptstyle \Box $ ("בוקס") ונקרא על שם ז'אן לה רון ד'אלמבר, הוא הרחבה של הלפלסיאן למרחב מינקובסקי ה-4 ממדי.

בקואורדינטות קרטזיות הוא מוגדר על ידי:

$ {\begin{aligned}\Box &=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=g_{\mu \nu }\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\end{aligned}} $

כאשר $ g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}} $ היא מטריקת מינקובסקי ו-$ \nabla ^{2} $ הוא הלפלסיאן והמכפלה מחושבת על פי הסכם הסכימה של איינשטיין.

שימושים

• משוואת קליין-גורדון נכתבת באמצעות הד'אלמברטיאן:

$ (\Box +m^{2})\psi =0.\, $

כאשר $ \psi \, $ היא פונקציית הגל של חלקיק יחסותי חופשי חסר ספין ו-$ m\, $ היא מסת החלקיק.

• משוואת הגלים האלקטרומגנטיים בריק נכתבת באמצעות הד'אלמברטיאן:

$ \Box A^{\mu }=0 $

כאשר $ A^{\mu }=(\phi ,{\vec {A}}) $ הוא ה-4-וקטור של הפוטנציאל האלקטרומגנטי היחסותי של השדה האלקטרומגנטי.

• משוואת הגלים לתנודות קטנות יכולה להכתב באמצעות הד'אלמברטיאן:

$ \Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0\, $

כאשר $ u\left(x,t\right)\, $ זו התזוזה מנקודת שיווי המשקל.

• פונקציית גרין $ G(x-x')\, $ עבור הד'אלמברטיאן מקיימת:

$ \Box G(x-x')=\delta (x-x') $

כאשר $ \delta (x-x')\, $ היא פונקציית דלתא של דיראק ו-$ x\, $ ו-$ x'\, $ הם נקודות במרחב מינקובסקי. פתרון המשוואה נותן את פונקציית גרין:

$ G(t,x,y,z)={\frac {1}{2\pi }}\Theta (t)\delta (t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right) $

כאשר $ \,\Theta $ היא פונקציית מדרגה.

קישורים חיצוניים

• ד'אלמברטיאן, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

ד'אלמברטיאן36159036Q911268