בן אלישר נולד בשם אליהו גוטליב בראדום שבפולין כבן זקונים לאליעזר והלה. אביו ואחיו היו בעלי בית יציקה מצליח.
במהלך השואה, ב-28 באוקטובר 1942, בגיל 10, צורף למשפחה יהודית שנכללה בקבוצת יהודים תושבי ונתיני ארץ ישראל, שנקלעו לפולין לפני המלחמה, נאלצו להישאר בה לאחר כיבושהּ על ידי הנאצים, והוחזרו לארץ ישראל במסגרת חילופי אנשי היישוב כנגד טמפלרים גרמנים שהושבו לגרמניה. בן אלישר צורף למשפחה זו במקום ילדם נתן חיים, שגורש על ידי הנאצים להשמדה. ב-14 בנובמבר 1942 הגיע עם אנשי הקבוצה לארץ ישראל.
בארץ גדל בן אלישר בבית דודו, חבר באצ"ל. הוא למד בבית הספר הדתי ביל"ו בתל אביב והיה חבר בתנועת בית"ר.
עם תום מלחמת העולם השנייה התברר לבן אלישר שאביו נספה במחנה הריכוז פלוסנבירג, חודשיים לפני תום המלחמה ואמו נהרגה בתאונת דרכים לאחר המלחמה. אחותו היגרה עם בעלה בשנת 1947 לארצות הברית. לאחר שחרורו מצה"ל, בתחילת שנות ה-50, נסע ללמוד בסורבון שבפריז, שם סיים בהצלחה תואר ראשון במדע המדינה ותואר שני במשפט בינלאומי. במהלך לימודיו עבד כשומר לילה בשגרירות הישראלית, שם גויס ל"מוסד", שבו עבד בהמשך במשך 13 שנים התקדם בשירות ופיקד בין השאר על מחלקה מרכזית באגף "צומת" של הארגון. בשלוש שנות פעילותו האחרונות שהה במזרח אפריקה, בעיקר באתיופיה[1]. בשנת 1965 פרש מ"המוסד". בשנת 1969 סיים את הדוקטורט במדע המדינה באוניברסיטת ז'נבה.
בשנת 1977, לאחר ניצחון הליכוד בבחירות לכנסת מינה ראש הממשלה, מנחם בגין את בן-אלישר לשמש כמנכ"למשרד ראש הממשלה, תפקיד אותו מילא עד 1980. בסוף שנת 1977, בעקבות ביקורו של נשיא מצרים בישראל, אנואר סאדאת, שימש בן אלישר כראש המשלחת הישראלית שיצאה לקהיר לניהול המשא ומתן לשלום. לאחר כינון היחסים הדיפלומטיים עם מצרים, כיהן בשנים 1980–1981 כשגריר הישראלי הראשון בקהיר.
בשנת 1996, ארבעה חודשים לאחר שנבחר לכנסת, התפטר ממנה עקב מינויו כשגריר ישראל בוושינגטון. שנתיים אחר-כך החל לשמש כשגריר בפריז. בתחילת אוגוסט 2000 התפטר דוד לוי מן הממשלה, בעקבות התנגדותו למהלכים מדיניים בועידת קמפ דייוויד. בעקבות כך, הודיע ראש הממשלה, אהוד ברק, למספר שגרירים שהחזיקו בעמדות ניציות על סיום תפקידם. בהם היה גם בן אלישר, שהיה מקורב ללוי.
ימים ספורים לאחר הודעת הפיטורין שקיבל מברק, נפטר בן אלישר מהתקף לב במלון בפריז. נסיבות מותו היו בלתי שגרתיות[2]. בן-אלישר שהה מחוץ לדירתו, ללא ליווי של מאבטח או שוטר ממשטרת פריז, בניגוד לנוהלי האבטחה של נציגים רשמיים של ישראל[3]. הוא הובא למנוחות בבית הקברות בהר הזיתים.
היה נשוי פעמיים. אשתו הראשונה הייתה דיאנה לבית דודל, ואשתו השנייה ניצה לבית עפרוני.
ספריו
La Guerre Israélo-Arabe. Le 1er Livre Israélien Sur Les Évenements De Juin 67, Juillard, 1967
La Diplomatie Du Iiième Reich Et Les Juifs 1933-1939, Juillard, 1969
קשר ההשמדה: מדיניות החוץ של הרייך השלישי והיהודים, הוצאת עידנים, 1978
ראדום, פולין
פריז, צרפת
ישראל
אליהו בן-אלישר, באתר הכנסת 
