כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה

כלל לייבניץ (מכונה גם כלל המכפלה), שקרוי על שמו גוטפריד וילהלם לייבניץ, הוא כלל העוסק בגזירת מכפלות של פונקציות.

הכלל המקורי עוסק בנגזרת ראשונה של מכפלת פונקציות: $(f\cdot g)'=f'g+fg'$ לכל שתי פונקציות $f,g$ .

מכלל לייבניץ הבסיסי אפשר לפתח את נוסחת האינטגרציה בחלקים:

\int (f\cdot g')dx=f\cdot g-\int (f'\cdot g)dx

הוכחה

ניתן להוכיח את כלל לייבניץ ישירות על ידי חישוב הנגזרת:

{\begin{aligned}(f\cdot g)'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h){\bigl [}f(x+h)-f(x){\bigr ]}+f(x){\bigl [}g(x+h)-g(x){\bigr ]}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot \lim _{h\to 0}g(x+h)+\lim _{h\to 0}f(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f'(x)g(x)+f(x)g^{'}(x)\end{aligned}}

לפונקציות חיוביות, ניתן להוכיח את הכלל על ידי שימוש בכלל השרשרת ובתכונות של לוגריתם טבעי:

לכל שתי פונקציות חיוביות $f,g$ מתקיים $\ln(f\cdot g)=\ln(f)+\ln(g)$ .

אם נגזור את שני האגפים ונשתמש בכלל השרשרת נקבל:

{\frac {(f\cdot g)'}{fg}}={\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}

לייבניץ הכליל את הנוסחה לנגזרת ה- $n$ -ית:

(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}

כאשר ${\tbinom {n}{k}}$ הוא המקדם הבינומי. הביטוי דומה מאד לבינום של ניוטון:

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}

הדמיון אינו מקרי, כי את שתי הנוסחאות מוכיחים בצורה זהה באמצעות אינדוקציה, ושתיהן נשענות על אותו רעיון קומבינטורי.

ניתן להשתמש בכלל כדי לגזור מכפלת כמה פונקציות. למשל:

{\begin{aligned}(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'\\(uvwz)'=u'vwz+uv'wz+uvw'z+uvwz'\end{aligned}}

באופן כללי, אם הפונקציה היא $f(x)=\prod _{i=1}^{n}f_{i}(x)$ הנגזרת היא:

f'=\sum _{i=1}^{n}f_{i}'\prod _{k=1 \atop k\neq i}^{n}f_{k}

אם אף אחת מהפונקציות לא שווה ל-0, אפשר לכתוב את זה גם כך:

{\frac {(f_{1}\cdots f_{n})'}{f_{1}\cdots f_{n}}}={\frac {f_{1}'}{f_{1}}}+\cdots +{\frac {f_{n}'}{f_{n}}}