נגזרת חלקית

בחשבון אינפיניטסימלי, נגזרת חלקית של פונקציה בכמה משתנים היא נגזרת של הפונקציה באחד ממשתניה, כאשר מתייחסים לשאר המשתנים כאל קבועים. סימן הנגזרת החלקית ∂ הוא האות d המעוגלת, היא נקראת "די מסולסלת", "d עגולה" או "די" (כך נכתבת האות d קטנה בכתב לטיני-אנגלי ישן).

סימונים מקובלים נוספים לנגזרת החלקית על פי $\!\,x_{k}$ הם $\!\,f_{x_{k}},f_{x_{k}}^{'}$ וכן $\ \partial _{x_{k}}f\ \ ,\ \ \partial _{k}f$ כאשר $\ \partial _{x_{k}}$ הוא אופרטור גזירה חלקית לפי המשתנה $\ x_{k}$.

הגדרה פורמלית

תהא $f\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)$ פונקציה ב$\!\,n$ משתנים. נסמן את הנגזרת החלקית של $\!\,f$ על פי $\!\,x_{k}$ בעזרת הסימון ${\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}$, והיא תוגדר כך:

${\frac {\partial }{\partial x_{k}}}f\left(x_{1},\dots ,x_{k},\dots ,x_{n}\right)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f\left(x_{1},\dots ,x_{k}+h,\dots ,x_{n}\right)-f\left(x_{1},\dots ,x_{k},\dots ,x_{n}\right)}{h}}$.

דוגמאות

1. נביט בפונקציה $\!\,f(x,y)=x^{y}$. אם מסתכלים על הפונקציה בתור פונקציה של $\!\,x$ בלבד, כאשר $\!\,y$ קבוע, זוהי פונקציה של פולינום. לעומת זאת, כאשר מסתכלים עליה בתור פונקציה של $\!\,y$ ועל $\!\,x$ בתור קבוע, זוהי פונקציה מעריכית. על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: $\!\,{\frac {\partial f}{\partial x}}=yx^{y-1},{\frac {\partial f}{\partial y}}=\ln x\cdot x^{y}$.
2. נתבונן בפונקציה $\!\,f(x,y)=x$. לכאורה זוהי פונקציה במשתנה אחד, אך ניתן גם להתייחס אליה כפונקציה מרובת משתנים, כאשר היא קבועה לכל משתנה שאינו $\!\,x$. על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: $\!\,{\frac {\partial f}{\partial x}}=1,{\frac {\partial f}{\partial y}}=0$.

שימושים

באנליזה וקטורית ובפיזיקה הנגזרת החלקית משמשת לאנליזה מתמטית של פונקציות המוגדרות מעל מרחב וקטורי, ומציאת תכונות שונות של אותן פונקציות. נגזרת חלקית משמשת לכתיבת משוואות דיפרנציאליות חלקיות. בדרך כלל הנגזרות החלקיות יצורפו לאופרטור דיפרנציאלי, כמו גרדיאנט, דיברגנץ או רוטור.

• הגרדיאנט של פונקציה בנקודה מסוימת הוא וקטור הנגזרות החלקיות שלה באותה נקודה. הגרדיאנט בנקודה $\ a$ כלשהי יוגדר כך:

$\operatorname {grad} f(a)={\vec {\nabla }}f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right)$

• הדיברגנץ של פונקציה וקטורית $\ {\vec {f}}$ (ב-Rⁿ) הוא פונקציה (ב-R¹) המודדת את קצב השינוי במאונך לצירים. במערכת צירים קרטזית הדיברגנץ הוא מכפלה פנימית בין אופרטור הגרדיאנט לפונקציה הווקטורית:

$\ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {f}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial {x_{i}}}}$.

• הרוטור הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת. במערכת קרטזית:

$\ \operatorname {curl} \left({\vec {F}}\right)=\operatorname {rotor} \left({\vec {F}}\right)={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\hat {x}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\hat {y}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\hat {z}}$.

ראו גם

• נגזרת
• נגזרת כיוונית
• אנליזה וקטורית
• אינטגרל כפול

קישורים חיצוניים

• נגזרת חלקית, באתר MathWorld (באנגלית)   
• 
  שגיאות פרמטריות בתבנית:בריטניקה
  פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

29490190נגזרת חלקית