פונקציית L של ארטין
בתורת המספרים פונקציית L של ארטין היא פונקציית L שמספקת מידע על ההתהגות של איבר פרובניוס המתאים לראשוניים שונים בהרחבת שדות מספרים נתונה. פונקציית L של ארטין מכלילה את פונקציית L של דיריכלה. כמו שפונקציית L של דירכלה מאפשרת לחקור התפלגות של ראשוניים בסידרה חשבונית, פונקציית L של ארטין מאפשרת לחקור התפלגות של ראשוניים בעלי תכונות אריתמטיות מורכבות יותר. לפי השערת לנגלנדס, כל פונקציית L של ארטין שווה לפונקציית L של תבנית אוטומורפית מתאימה.
את הפונקציה הגדיר אמיל ארטין בשנת 1923 על מנת לפרק את פונקציית זטא של דדקינד למכפלה של פונקציות בצורה שתכליל פרוקים קודמים של דדקינד וובר.[1]
הקשר טרמינולגיה וסימונים
בהינתן הרחבת גלואה של שדות מספרים והצגה (מרוכבת) של חבורת גלואה , פונקציית L של ארטין היא פונקציה מרומורפית על . את ערכה של פונקציית L של ארטין בנקודה מסמנם ב:
לפונקציית L של ארטין יש גם גרסה עבור הצגה של חבורת גלואה של הרחבה של שדות מקומיים. גרסה זו נקראת פונקציית L המקומית של ארטין. כשרוצים להדגיש שמדברים על פונקציית L של ארטין הלא מקומית מכנים אותה פונקציית L הגלובלית של ארטין. הסימונים במקרה המקומי מקבילים לסימונים במקרה הגלובלי. פונקציית L המקומית של ארטין פשוטה בהרבה מזאת הגלובלית. במקרה של שדות מקומיים לא ארכימדיים היא מהווה פונקציה רציונלית ב - כאשר הוא מציין השארית של השדות המקומיים הרלוונטיים.
פונקציית L הגלובלית של ארטין היא מכפלה אינסופית של פונקצייות L מקומיות של ארטין המתאימות להרחבות שדות מקומיים לא ארכימדיים המתקבלים מההרחבה . מסיבות טכניות לעיתים יותר נוח להגדיר את פונקציות L המקומיות של ארטין רק עבור חלק מהמקרים. אם מחליפים את המכפלה המלאה במכפלה חלקית מקבלים את פונקציית L החלקית של ארטין. למושג זה אין הגדרה מוסכמת אחת הוא טכני ותלוי הקשר.
ניתן להרחיב את המכפלה המגדירה את פונקציית L של ארטין כך שהיא תכיל גם פונקצייות L מקומיות המתאומות לשדות ארכימדיים. הפונקציה המתקבלת בצורה כזאת נקראת פונקציית L המורחבת של ארטין (או פונקציית של ארטין) ומסומנת לעיתים ב - במקום ב - . היחס בין פונקציות L המורחבת של ארטין ופונקציות L של ארטין נקרא לעיתים כופל גמה. זאת משום שניתן להביע אותו באמצעות ביטוי פשוט יחסית שמערב את פונקציית גמא.
רקע
ראשוניים בשדה מספרים
בהינתן שדה מספרים , ראשוני של הוא אידיאל ראשוני של החוג של השלמים ב - . אם אז ראשוניים של הם פשוט מספרים ראשוניים.
ראשוניים של הם מקרה פרטי של מקומות של . המקומת של כוללים מלבד הראשוניים של (הנקראים גם המקומות הלא-ארכימדיים של ) גם את המקומות הארכימדיים של . ניתן להגדיר את המקומות הארכימדיים בתור שיכונים של ל - .
נסמן את אוסף הראשוניים של שדה ב - .
ראשוניים לא מסועפים
נקבע הרחבה סופית של שדות מספרים . בהינתן ראשוני ניתן לפרק את האידיאל לאידיאלים ראשוניים:
ניתן להראות שכמעט כל הראשוניים של (זאת אומרת כולם פרט למספר סופי) הם לא מסועפים ביחס להרחבה הנתונה . נסמן את אוסף הראשוניים של שדה שאינם מסועפים ביחס ל - ב - .
איבר פרובניוס
- ערך מורחב – איבר פרובניוס
עבור הרחבת גלואה סופית של שדות מספרים ועבור ראשוני שאינו מסועף ביחס להרחבה זאת פרובניוס הגדיר איבר בחבורת גלואה . איבר זה נקרא איבר פרובניוס. ניתן להראורת שאם הם שני ראשוניים הנמצאים מעל אותו ראשוני של אז איברי פרובניוס ו - צמודים בחבורת גלואה . בהתאם, עבור ראשוני שאינו מסועף ביחס להרחבה , מגדירים את איבר פרובניוס להיות איבר פרובניוס של אחד הראשוניים של הנמצאים מעל . איבר זה אינו מוגדר היטב כאיבר בחבורה אך מוגדר עד כדי הצמדה. במילים אחרות מחלקת הצמידות שלו מוגדרת היטב. ניתן להרחיב הגדרה זו גם לראשוניים מסועפים, אולם במקרה זה איבר פרובניוס יהיה איבר בחבורת גלואה שונה במקצת.
הגדרה
נקבע הרחבת גלואה של שדות מספרים והצגה (מרוכבת) של חבורת גלואה .
פונקציית L המקומית של ארטין
יהי ראשוני של שאינו מסועף ביחס להרחבה . נגדיר
הערה: אם בוחרים ראשוני הנמצא מעל אז ניתן להגדיר הרחבת שדות מקומיים כאשר ו - הם ההשלמות של ו - על פי הערכים המוחלטים המוגדרים באמצעות הראשוניים המתאימים. מכאן מקבלים שיכון של חבורות גלואה . קל לראות שפונקציית L המקומית של ארטין תלויה רק בשדות ו - ובצימצום . למעשה ניתן להגדיר אותה עבור כל הצגה של כאשר היא הרחבת גלואה של שדות מקומיים. במקרה כזה מסמנים את ערכה של פונקציית L המקומית של ארטין ב - .
פונקציית L הגלובלית של ארטין
פונקציית L של ארטין מוגדרת באופן הבא:
פונקציית L החלקית של ארטין
בהינתן קבוצה סופית של ראשוניים ניתן להגדיר את פונקציית L החלקית של ארטין על ידי
פונקציית L המורחבת של ארטין
פונקציית L המורחבת של ארטין מוגדרת באופן דומה לפונקציית L של ארטין אלא שהמכפלה היא על כל המקומות של . במילים אחרות פונקציית L המורחבת של ארטין היא המכפלה של פונקציית L של ארטין במכפלת פונקציית L המקומיות של ארטין עבור כל המקומות הארכימדיים. המכפלה של פונקציית L המקומיות של ארטין עבור כל המקומות הארכימדיים של נקראת לעיתים כופל גמה והגדרתה מבוססת על פונקציית גמא. כופל גמה פשוט בהרבה מפונקציית L של ארטין (בגלל שהמכפלה בהגדרתו היא סופית) אולם מסובך יותר מפונקציית L המקומית של ארטין.
תכונות
שימושים וקשרים לתחומים שונים
ראו גם
לקראה נוספת
- ארטין, אמיל (1923). "Über eine neue Art von L Reihen". Hamb. Math. Abh. 3. Reprinted in his collected works, מסת"ב 0-387-90686-X. English translation in Artin L-Functions: A Historical Approach by N. Snyder.
- ארטין, אמיל (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (בגרמנית), 8: 292–306, doi:10.1007/BF02941010, JFM 56.0173.02, S2CID 120987633
- Tunnell, Jerrold (1981). "Artin's conjecture for representations of octahedral type". Bull. Amer. Math. Soc. N. S. 5 (2): 173–175. doi:10.1090/S0273-0979-1981-14936-3.
- גלברט, סטיבן (1977). "Automorphic forms and Artin's conjecture". Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976). Lecture Notes in Math. Vol. 627. Berlin: Springer. pp. 241–276.
- לנגלנדס, רוברט (1967). "Letter to Prof. Weil".
- Langlands, Robert P. (1970). "Problems in the theory of automorphic forms". Lectures in modern analysis and applications, III. Lecture Notes in Math. Vol. 170. Berlin, New York: Springer-Verlag. pp. 18–61. doi:10.1007/BFb0079065. ISBN 978-3-540-05284-5. MR 0302614.
- Martinet, J. (1977). "Character theory and Artin L-functions". In Fröhlich, A. (ed.). Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975. Academic Press. pp. 1–87. ISBN 0-12-268960-7. Zbl 0359.12015.
- תבנית:Springer
- Prasad, Dipendra; Yogananda, C. S. (2000). "A Report on Artin's Holomorphy Conjecture". In Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J. (eds.). Number Theory (PDF). Birkhäuser Basel. pp. 301–314. doi:10.1007/978-3-0348-7023-8_16. ISBN 978-3-0348-7023-8.
קישורים חיצוניים
- מאמר סקירה מעת ג'יימס קוגדל על הנושא.
הערות שוליים
- ^ (ארטין 1923)
פונקציות L וזטא | ||
---|---|---|
פונקציות זטא בתורת המספרים | פונקציית זטא של רימן • פונקציית זטא של דדקינד • פונקציית זטא של הסה-וויל • פונקציית זטא אריתמטית • פונקציית זטא של איגוסה | |
פונקציות L (נוספות) בתורת המספרים | פונקציית L של דיריכלה • פונקציית L של ארטין • פונקציית L של הקה • פונקציית L של תבנית אוטומורפית • פונקציית L מוטיבית | |
תוצאות חשובות | המשכה אנליטית ומשוואה פונקציאונלית עבור פונקציית זטא של רימן • משפט המספרים הראשוניים • הנוסחה המפורשת של רימן מנגולד • משפט דיריכלה • משפט הצפיפות של צ'בוטרב • משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית) • השערות וויל • נוסחת מספר המחלקה (של דיריכלה ושל דדקינד) | |
השערות חשובות | השערת רימן (המוכללת) • השערת לנגלנדס • השערת לינדולף • השערת ארטין | |
פונקציות L וזטא נוספות | פונקציית זטא של חבורה • פונקציית זטא הצגתית של חבורה • פונקציית זטא של סלברג | |
מושגים קשורים נוספים | תורת המספרים האנליטית • תורת המספרים האלגברית • המשכה אנליטית • טור דיריכלה |
38937055פונקציית L של ארטין