תורת המספרים האלגברית

תורת המספרים האלגברית היא ענף מרכזי בתורת המספרים, העוסק בתכונות של השלמים האלגבריים ובתכונות אלגבריות של אוסף המספרים השלמים ושל מבנים מתמטיים הנובעים ממנו.

ראשיתה של תורת המספרים האלגברית במחצית השנייה של המאה ה-19, בניסיונות של ארנסט קומר להכליל את משפט ההדדיות הריבועית ומאוחר יותר, להוכיח את השערת פרמה על ידי פירוק לגורמים (של שלמים אלגבריים בשדה ציקלוטומי). בצורה זו הוכיח קומר את השערת פרמה לכל ראשוני רגולרי. רעיונות אלה הביאו את ריכרד דדקינד להגדיר את המושג אידיאל המהווה פורמליזציה של רעיונתיו של קומר. דדקינד ולאופולד קרונקר חקרו בעיות של פתרון משוואות פולינומיות בשיטות של תורת גלואה. ספרים שכתבו היינריך מרטין ובר (1895) ודויד הילברט (1899) ייצבו את התחום, והעניקו לו מקום מרכזי השמור לו במתמטיקה מאז ועד עתה. ובר והילברט ניסחו את התוצאות המרכזיות בתחום, כהשערות, שכמה מהן הוכיח המתמטיקאי היפני Takagi בסוף שנות העשרים של המאה ה-20.

אחד התחומים החשובים בתורת המספרים האלגברית היא תורת שדות המחלקה (class field theory), המתארת את כל ההרחבות האבליות של שדה נתון (לוקלי או גלובלי). בתחום זה תפס מקום מרכזי משפט ההיפוך של ארטין, שאמיל ארטין הציג ב-1923 והוכיח ב-1927.

תורת המספרים האלגברית חוקרת את כל ההרחבות האלגבריות של שדה המספרים הרציונליים, ולכן היא מעוניינת בעיקר בחבורת גלואה האבסולוטית של שדה זה ושל שדות אחרים בעלי אופי אריתמטי.