פונקציה רציונלית

פונקציה רציונלית היא פונקציה שניתנת להבעה כמנת פולינומים.

קבוצת הפונקציות הרציונליות היא שדה השברים של חוג הפולינומים.

הגדרה פורמלית

נאמר שפונקציה $f(x)$ רציונלית אם היא מהצורה $f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$ כאשר $P(x)$ ו- $Q(x)$ הן פולינומים כך של- $Q(x)$ יש לפחות מקדם אחד שונה מ- $0$ . הפונקציה $f$ מוגדרת בכל נקודה בה $Q$ שונה מאפס.

פונקציה רציונלית היא מקרה פרטי של העתקה רציונלית.

דוגמאות

הפונקציה ${\frac {3x^{5}+6x-1}{2x-9}}$ היא פונקציה רציונלית, ולעומת זאת $\cos(x)$ אינה פונקציה רציונלית, משום שלא ניתן לבטא אותה כמנת פולינומים, גם ${\sqrt {x}}+2{\sqrt[{4}]{x}}$ איננה רציונלית (היא לא פולינום כי המעריכים של $x$ אינם שלמים).

נגזרת של פונקציה רציונלית

תהיינה $f(x),g(x)$ גזירות כאשר $g(x)\neq 0$ . את הנגזרת של הפונקציה הרציונלית ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ מקבלים על די הנוסחה ${\textstyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\tfrac {f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^{2}}}}$ .

אסימפטוטות

ערך מורחב – אסימפטוטה

בניגוד לפונקציה ללא מנה כמו פונקציית פולינום, או פונקציית שורש ללא מנה, בפונקציות עם מנה ייתכנו אסימפטוטות, שהן ישרים אליהן הפונקציה שואפת להגיע, כאשר $x\to \infty$ או $x\to -\infty$ .