הרחבת גלואה

הרחבת גלואה היא הרחבה נורמלית וספרבילית של שדות. הרחבות כאלו הן אבן הפינה של תורת גלואה, לא רק מכיוון שתכונה זו גוררת מספר תוצאות שונות, אלא גם מכיוון שהרחבות גלואה מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה.

תוצאה של אמיל ארטין מאפשרת לבנות הרחבת גלואה בקלות: עבור שדה $L$ , נסמן ב- $G$ חבורה כלשהי של אוטומורפיזמים של $L$ . עבור $K$ שדה השבת של $G$ , מתקיים ש- $L/K$ הרחבת גלואה.

כל הרחבת שדות ספרבילית אפשר להמשיך להרחבת גלואה, הנקראת סְגור גלואה של ההרחבה המקורית.

הגדרות שקולות

להרחבות גלואה יש מספר הגדרות שקולות:

ההרחבה L/K נורמלית וספרבילית.
$L$ הוא שדה הפיצול של פולינום ספרבילי כלשהו מעל $K$ .
$K$ הוא שדה השבת של L תחת חבורת אוטומורפיזמים כלשהי.
הסדר של חבורת גלואה של ההרחבה שווה לממד ההרחבה.

דוגמאות.

1. כל הרחבה ריבועית ספרבילית היא נורמלית, ולכן גלואה.

2. נסמן ב- $\alpha ={\sqrt[{4}]{2}}$ את השורש הרביעי של 2. השדה $L=\mathbb {Q} [\alpha ]$ אינו הרחבת גלואה של $\mathbb {Q}$ , משום שההרחבה אינה נורמלית: $\alpha$ הוא שורש של הפולינום $x^{4}-2$ , שהוא אי-פריק (לפי קריטריון אייזנשטיין) אבל השורש $i\alpha$ אינו שייך ל- $K$ . לעומת זאת, $L$ הוא הרחבת גלואה של שדה הביניים $L_{0}=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ . סגור גלואה של ההרחבה $L/\mathbb {Q}$ מתקבל מצירוף כל השורשים של הפולינום המינימלי ל- $\mathbb {Q}$ , ושווה משום כך ל- $K=\mathbb {Q} [\alpha ,i\alpha ,-\alpha ,-i\alpha ]=\mathbb {Q} [\alpha ,i]$ . זוהי הרחבה מממד 8, שחבורת גלואה שלה היא החבורה הדיהדרלית מאותו סדר.

הכללה להרחבות של חוגים

בתורת החוגים הקומוטטיביים, הרחבה $S$ של חוג $R$ , יחד עם חבורה $G$ של אוטומורפיזמים של $S$ , נקראת הרחבת גלואה של $R$ אם $S$ מודול פרויקטיבי מעל $R$ , תת-החוג האינווריאנטי תחת $G$ הוא $R$ , ולכל אידמפוטנט $e$ של $S$ פעולת $G$ נאמנה על $Se$ (כלומר לכל $\sigma \neq 1$ קיים $x\in S$ כך ש- $(\sigma (x)-x)e\neq 0$ ). הרחבת שדות $K/F$ היא הרחבת גלואה של חוגים אם ורק אם היא הרחבת גלואה של שדות. באופן כללי יותר, לכל הרחבת גלואה $K/F$ , המכפלה הישרה $S=K\times \cdots \times K$ היא הרחבת גלואה של $F$ ביחס לחבורת אוטומורפיזמים הנוצרת על ידי שיכון אלכסוני של $\operatorname {Gal} (K/F)$ ופעולה טרנזיטיבית רגולרית על העותקים של $K$ . לדוגמה, אם $R$ תחום שלמות, הרחבת גלואה הנוצרת על ידי איבר אחד היא תמיד מהצורה $R[x]/\langle f(x)\rangle$ כאשר הפולינום $f$ הוא פולינום מתוקן והדיסקרימיננטה שלו היא איבר הפיך של $R$ . בפרט, ההרחבה היחידה מדרגה 2 של חוג השלמים $\mathbb {Z}$ היא $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ .