פונקציה שלמה

באנליזה מרוכבת, פונקציה שלמה היא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב. דוגמאות בסיסיות לפונקציות שלמות הן הפולינומים המרוכבים, פונקציית האקספוננט המרוכבת וסכומים, מכפלות והרכבות שלהם. הפונקציות הטריגונומטריות וההיפרבוליות גם הן פונקציות שלמות, אך הן וריאציות על הפונקציה האקספוננציאלית (כפי שניתן לראות מנוסחת אוילר). כל פונקציה שלמה ניתנת לייצוג על ידי טור טיילור המתכנס בכל מקום במישור המרוכב. פונקציות דוגמת הלוגריתם או השורש אינן שלמות (יתר על כן, אלו הן פונקציות רב־ערכיות).

משפט חשוב העוסק בפונקציות שלמות הוא משפט ליוביל: פונקציה שהיא שלמה וחסומה היא בהכרח קבועה. משפט זה משמש להוכחה אלגנטית של המשפט היסודי של האלגברה. המשפט הקטן של פיקארד מרחיב את משפט ליוביל: כל פונקציה שלמה שאינה קבועה מקבלת כל ערך במישור המרוכב, פרט אולי לערך אחד (למשל, פונקציית האקספוננט מקבלת כל ערך פרט ל־0).

אחד הנושאים המרכזיים בתורת הפונקציות השלמות הוא הקשר בין קצב הגידול של הפונקציה, לבין התפלגות האפסים שלה. את קצב הגידול מודדים באמצעות הסדר $\ \rho =\limsup {\frac {\log(\log M(r))}{\log r}}$ , כאשר $\ M(r)=\max _{|z|=r}{|f(z)|}$ . פונקציה מסדר $\ \rho$ גדלה בקירוב כמו $\ e^{|z|^{\rho }}$ . הסדר הוא תמיד מספר ממשי בין 0 לאינסוף, וכל אפשרות כזו (לרבות הקצוות) עשויה להתקבל. לנגזרת יש אותו סדר כמו לפונקציה עצמה ^[1].