הצמדה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, הצמדה היא סוג של פעולה של חבורה על עצמה. הצמדה של $a$ באמצעות $b$ היא הפעולה $a\mapsto bab^{-1}$. הצמדה מהווה אוטומורפיזם פנימי של החבורה על עצמה. פעולת ההצמדה מסומנת גם בצורות הבאות:

$\operatorname {Inn} _{b}(a)=\operatorname {inn} _{b}(a)=\operatorname {Int} _{b}(a)=\operatorname {int} _{b}(a)={}^{b}a=bab^{-1}$

איברים צמודים ומחלקת צמידות

נאמר על שני איברים $a$ ו-$b$ בחבורה $G$ שהם איברים צמודים אם קיים $g\in G$ כך שמתקיים:

$a=gbg^{-1}$

יחס הצמידות בין איברים הוא יחס שקילות:

• רפלקסיביות - כל איבר צמוד לעצמו מכיוון שמתקיים:

$a=eae^{-1}$ ($e$ איבר היחידה בחבורה).

• סימטריות - אם $a=gbg^{-1}$ אז:

$(g^{-1})a(g^{-1})^{-1}=g^{-1}(gbg^{-1})g=b$.

• טרנזיטיביות - אם $a=gbg^{-1}$ ו-$b=hch^{-1}$ אז:

$a=gbg^{-1}=g(hch^{-1})g^{-1}=(gh)c(gh)^{-1}$

אוסף האיברים בחבורה שצמודים לאיבר נתון $a$ נקראת מחלקת הצמידות של $a$. מכיוון שצמידות היא יחס שקילות, כל מחלקת צמידות היא מחלקת שקילות – כל איבר בחבורה נמצא במחלקת צמידות אחת בדיוק.

דוגמאות

• יחס הדמיון בין מטריצות הוא למעשה יחס הצמידות. שתי מטריצות שונות הן צמודות אם ורק אם הן מייצגות את אותה העתקה לינארית בבסיסים שונים.
• שתי תמורות הן צמודות אם יש להן אותו מבנה מחזורים. כלומר אם לכל מחזור בפירוק של תמורה אחת מתאים מחזור באותו האורך בפירוק של התמורה האחרת.

תכונות

• פעולת ההצמדה מתחלפת עם פעולת הכפל: $(gag^{-1})(gbg^{-1})=g(ab)g^{-1}$. במילים אחרות הפונקציה $x\mapsto bxb^{-1}$ היא אוטומורפיזם. אוטומורפיזם מהצורה הזו נקרא אוטומורפיזם פנימי (ראו חבורת האוטומורפיזמים). מתכונה זו נובע בין השאר:
  • אם $a,b$ צמודים, אז גם $a^{n},b^{n}$ צמודים.
  • לאיברים צמודים יש את אותו הסדר.
• כל איבר במרכז של חבורה צמוד רק לעצמו ($gag^{-1}=gg^{-1}a=a$). בפרט, איבר היחידה צמוד רק לעצמו, ובחבורה אבלית כל מחלקות הצמידות הן יחידונים.
• מספר האיברים שצמודים לאיבר נתון הוא האינדקס של המְרַכֵּז של האיבר (חבורת האיברים שמתחלפים עם האיבר). שוויון זה מוביל למשוואת המחלקות בחבורה סופית:

$|G|=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)]$

כאשר $Z(G)$ הוא המרכז של G, $C(g)$ הוא המְרַכֵּז של $g$ ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב-$Z(G)$.