הצמדה (תורת החבורות)
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
בתורת החבורות, הצמדה היא סוג של פעולה של חבורה על עצמה. הצמדה של $ a $ באמצעות $ b $ היא הפעולה $ a\mapsto bab^{-1} $. הצמדה מהווה אוטומורפיזם פנימי של החבורה על עצמה. פעולת ההצמדה מסומנת גם בצורות הבאות:
- $ \operatorname {Inn} _{b}(a)=\operatorname {inn} _{b}(a)=\operatorname {Int} _{b}(a)=\operatorname {int} _{b}(a)={}^{b}a=bab^{-1} $
איברים צמודים ומחלקת צמידות
נאמר על שני איברים $ a $ ו-$ b $ בחבורה $ G $ שהם איברים צמודים אם קיים $ g\in G $ כך שמתקיים:
- $ a=gbg^{-1} $
יחס הצמידות בין איברים הוא יחס שקילות:
- רפלקסיביות - כל איבר צמוד לעצמו מכיוון שמתקיים:
- $ a=aaa^{-1} $.
- סימטריות - אם $ a=gbg^{-1} $ אז:
- $ (g^{-1})a(g^{-1})^{-1}=g^{-1}(gbg^{-1})g=b $.
- טרנזיטיביות - אם $ a=gbg^{-1} $ ו-$ b=hch^{-1} $ אז:
- $ a=gbg^{-1}=g(hch^{-1})g^{-1}=(gh)c(gh)^{-1} $
אוסף האיברים בחבורה שצמודים לאיבר נתון $ a $ נקראת מחלקת הצמידות של $ a $. מכיוון שצמידות היא יחס שקילות, כל מחלקת צמידות היא מחלקת שקילות – כל איבר בחבורה נמצא במחלקת צמידות אחת בדיוק.
דוגמאות
- יחס הדמיון בין מטריצות הוא למעשה יחס הצמידות. שתי מטריצות שונות הן צמודות אם ורק אם הן מייצגות את אותה העתקה ליניארית בבסיסים שונים.
- שתי תמורות הן צמודות אם יש להן אותו מבנה מחזורים. כלומר אם לכל מחזור בפירוק של תמורה אחת מתאים מחזור באותו האורך בפירוק של התמורה האחרת.
תכונות
- פעולת ההצמדה מתחלפת עם פעולת הכפל: $ (gag^{-1})(gbg^{-1})=g(ab)g^{-1} $. במילים אחרות הפונקציה $ x\mapsto bxb^{-1} $ היא אוטומורפיזם. אוטומורפיזם מהצורה הזו נקרא אוטומורפיזם פנימי (ראו חבורת האוטומורפיזמים). מתכונה זו נובע בין השאר:
- אם $ a,b $ צמודים, אז גם $ a^{n},b^{n} $ צמודים.
- לאיברים צמודים יש את אותו הסדר.
- כל איבר במרכז של חבורה צמוד רק לעצמו ($ gag^{-1}=gg^{-1}a=a $). בפרט, איבר היחידה צמוד רק לעצמו, ובחבורה אבלית כל מחלקות הצמידות הן יחידונים.
- מספר האיברים שצמודים לאיבר נתון הוא האינדקס של המְרַכֵּז של האיבר (חבורת האיברים שמתחלפים עם האיבר). שוויון זה מוביל למשוואת המחלקות בחבורה סופית:
- $ |G|=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)] $
- כאשר $ Z(G) $ הוא המרכז של $ G $, $ C(g) $ הוא המְרַכֵּז של $ g $ ו-$ I $ היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-$ G $ של איברים שאינם ב-$ Z(G) $.
קישורים חיצוניים
הצמדה (תורת החבורות)37956621