הצמדה (תורת החבורות)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, הצמדה היא סוג של פעולה של חבורה על עצמה. הצמדה של $ a $ באמצעות $ b $ היא הפעולה $ a\mapsto bab^{-1} $. הצמדה מהווה אוטומורפיזם פנימי של החבורה על עצמה. פעולת ההצמדה מסומנת גם בצורות הבאות:

$ \operatorname {Inn} _{b}(a)=\operatorname {inn} _{b}(a)=\operatorname {Int} _{b}(a)=\operatorname {int} _{b}(a)={}^{b}a=bab^{-1} $

איברים צמודים ומחלקת צמידות

נאמר על שני איברים $ a $ ו-$ b $ בחבורה $ G $ שהם איברים צמודים אם קיים $ g\in G $ כך שמתקיים:

$ a=gbg^{-1} $

יחס הצמידות בין איברים הוא יחס שקילות:

$ a=aaa^{-1} $.
$ (g^{-1})a(g^{-1})^{-1}=g^{-1}(gbg^{-1})g=b $.
$ a=gbg^{-1}=g(hch^{-1})g^{-1}=(gh)c(gh)^{-1} $

אוסף האיברים בחבורה שצמודים לאיבר נתון $ a $ נקראת מחלקת הצמידות של $ a $. מכיוון שצמידות היא יחס שקילות, כל מחלקת צמידות היא מחלקת שקילות – כל איבר בחבורה נמצא במחלקת צמידות אחת בדיוק.

דוגמאות

תכונות

$ |G|=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)] $
כאשר $ Z(G) $ הוא המרכז של $ G $, $ C(g) $ הוא המְרַכֵּז של $ g $ ו-$ I $ היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-$ G $ של איברים שאינם ב-$ Z(G) $.

קישורים חיצוניים

  • הצמדה, באתר MathWorld (באנגלית)
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הצמדה (תורת החבורות)37956621