נוסחת מספר המחלקה של דדקינד

בתורת המספרים נוסחת מספר המחלקה של דדקינד היא נוסחה המקשרת בין מספר מחלקה של שדה מספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} ושארית של פונקציית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta} של דדקינד המתאימה לשדה - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} ב -1. את הנוסחה הוכיח דדקינד.

רקע

במחצית השנייה של המאה ה-19 כתב ריכרד דדקינד את הספר הרצאות בתורת המספרים (Vorlesungen über Zahlentheorie). הספר סיכם את עבודותיו של דיריכלה על תורת המספרים האנליטית והכיל עבודות של דדקינד. בספר זה הוא ניסח מחדש את הוכחת משפט דיריכלה על מספרים ראשוניים בסדרה חשבונית בצורה מודרנית וקונספטואלית יותר. חלק חשוב בהכחתו של דיריכלה הייתה נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה. דדקינד ניסח מחדש את הנוסחה ואת הוכחתה במונחים קונספטואליים ומודרניים יותר. דבר זה אפשר לו לנסח ולהוכיח נוסחה כללית בהרבה שנקראת נוסחת מספר המחלקה של דדקינד.

נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה נותנת קשר בין מספר המחלקה של מספר שלם ובין ערך של פונקציית L של דיריכלה מתאימה. נוסחת מספר המחלקה של דדקינד נותנת קשר בין מספר המחלקה של שדה מספרים ולבין הקוטב בנקודה 1 של פונקציית זטא של דדקינד מתאימה. קל להסיק את נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מזאת של דדקינד (ראו להלן).

הן מספר המחלקה של שדה מספרים והן פונקציית זטא שלו קשורות לחוג השלמים של השדה.

חוג השלמים של שדה מספרים

ערך מורחב – חוג השלמים בשדה מספרים

בהינתן שדה מספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} חוג השלמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O_K} ב - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} הוא אוסף האיברים ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} שמקיימים משוואה פולינומית מתוקנת עם מקדמים ב - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Z} . באופן מפורש: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O_K=\{x\in K|\exists a_0,\dots a_n \in \Z \text{ s.t. } x^{n+1}+a_nx^n+\dots +a_0=0\}} החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O_K} הוא תחום דדקינד.

מספר המחלקה של שדה מספרים

ערך מורחב – מספר מחלקה (תורת המספרים)

בהינתן שדה מספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} נסמן ב - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O_K} את חוג השלמים ב - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} . זה הוא תחום דדקינד. חבורת מחלקות האידיאלים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} מוגדת להיות חבורת מחלקות האידיאלים של החוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O_K} . מספר המחלקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(K)} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} מוגדר להיות הסדר של חבורה זאת.

פונקציית זטא של דדקינד

ערך מורחב – פונקציית זטא של דדקינד

פונקציית זטא של דדקינד עבור שדה מספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,K} היא ההמשכה האנליטית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta_K(s)=\sum_{I\sub\mathcal O_K}\big(N^K_{\mathbb Q}(I)\big)^{-s},} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,I} עובר על האידיאלים (הלא טריוויאליים) של חוג השלמים ${\mathcal {O}}_{K}$, ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N^K_{\mathbb Q}(I):=[\mathcal O_K : I]:=|\mathcal O_K / I|} הנורמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,I} .

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,K} הוא שדה המספרים הרציונליים, מתקבלת פונקציית זטא של רימן. גם במקרה הכללי, הטור המתאר את פונקציית זטא מתכנס עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{Re}(s)>1} , וקיימת עבורו המשכה לפונקציה מרומורפית בכל המישור המרוכב, עם קוטב פשוט יחיד ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ s=1} .

בנוסחת מספר המחלקה מופיעה השארית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta_K} בקוטב זה. אולם למעשה אין צורך באנליזה מרוכבת כדי לנסח או להוכיח את נוסחת מספר המחלקה. לצורך העינין ניתן להגדיר את השארית בתור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_K(s).}

הנוסחה

נקבע שדה מספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} מלבד שארית פונקציית זטא של דדקינד ומספר המחלקה, הנוסחה מכילה גדלים נוספים:

1. מספר השיכונים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1(K)} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} לתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} .
2. מספר השיכונים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2r_2(K)} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} לתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Complex} שתמונתם לא ב - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} . נשים לב שזהו מספר זוגי מכיוון שעבור כל שיכון כזה יש גם את הצמוד המרוכב שלו.
3. הרגולטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Reg(K)} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} . זהו גודל שקשור לחבורת ההפיכים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O_K^\times} בחוג השלמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O_K} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K}
4. חבורת שורשי היחידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_\infty(K)} ב - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} .
5. הסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\mu_\infty(K)|} של חבורה זו.
6. הדיסקרימיננטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(K)} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} .

הנוסחה היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s) = \frac{2^{r_1(K)} \cdot(2\pi)^{r_2(K)} \cdot \operatorname{Reg}(K) \cdot h(K)}{|\mu_\infty(K)| \cdot \sqrt{|D(K)|}}}

רעיון הוכחת הנוסחה

ההוכה מתבססת על "חישוב" הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta_K(s)} . החישוב איננו מדויק אלא מקורב, אך הקירוב מספיק טוב כדי לא להשפיע על הגבול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)} . החישוב הוא במונחים של הגדלים הגדלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1(K)} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_2(K)} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(K)} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Reg(K)} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\mu_\infty(K)|} ו - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(K)} ולכן הם נמצאים באגף ימין של הנוסחה.

החישוב מתבסס על השלבים הבאים:

1. קירוב הסכימה על כל האידיאלים בסכימה על אידיאליים ראשיים בלבד.
2. החלפת הסכימה על כל האידיאלים הראשיים בסכמה על חלק מאיברי חוג השלמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal O_K} .
3. קירוב הסכימה באינטגרל.
4. חישוב של האינטגרל.

רדוקציה לסכימה על אידיאלים ראשיים

הסכום ב - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta_K(s)} הוא סכום על פני כל האידיאלים. נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta^0_K(s)} באופן דומה, אלא שהסכום ירוץ רק על האידיאלים הראשיים. באופן מפורש: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta^0_K(s)=\sum_{\langle a\rangle\sub\mathcal O_K}\big(N^K_{\mathbb Q}(\langle a\rangle)\big)^{-s}.} מכיוון שלפי ההגדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{h(K)}} הוא "החלק של האידיאלים הראשיים בין כל האידיאלים", ניתן להראות כי היחס בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta_K(s)} ל - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta^0_K(s)} הוא בקירוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(K)} . באופן מדויק יותר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{s\to 1} \frac{\zeta_K(s)}{\zeta^0_K(s)}=h(K).} מכאן שדי לחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta^0_K(s).} נשים לב ששלב רדוקציה זה הוא המקום היחיד בו מופיע מספר המחלקה. יתר השלבים אחראיים לשאר הגדלים הקשורים לשדה.

רדוקציה לסכימה על איברים בחוג השלמים

לצורך חישוב הגבול האחרון נשים לב שהנורמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N^K_{\mathbb Q}(\langle a\rangle)} של אידיאל ראשי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle a\rangle} שווה לנורמת גלואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N^K_{\mathbb Q}(a)} של היוצר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} . לכאורה ניתן להסיק מכאן ש: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta^0_K(s)=\sum_{a\in \mathcal O_K\smallsetminus 0}\big(N^K_{\mathbb Q}(a)\big)^{-s}.} אולם הסקה כזאת היא שגויה מיכיון שהסכום צריך להיות רק על האידיאלים עצמם ואיברים שונים יכולים ליצור אותו אידיאל, לכן כשאנו סוכמים על האיברים אנחנו סוכמים אותו אידיאל מספר רב של פעמים.

שני איברים יוצרים את אותו אידיאל אםם היחס בינבהם הוא איבר הפיך (ז"א איבר ב - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal O_K^\times} ). לכן, אם - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal O_K^\times} סופי אז מקבלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta^0_K(s)=\frac{1}{|\mathcal O_K^\times|}\sum_{a\in \mathcal O_K\smallsetminus 0}\big(N^K_{\mathbb Q}(a)\big)^{-s}.} באופן כללי יותר יש לבחור קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Lambda\subset \mathcal O_K \smallsetminus 0} של נציגים של קבוצת המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathcal O_K \smallsetminus 0)/ \mathcal O_K^\times} ואז מקבלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta^0_K(s)=\sum_{a\in \Lambda}\big(N^K_{\mathbb Q}(a)\big)^{-s}.}

רדוקציה לחישוב אינטגרל והוכחת הנוסחה

כדי לבחור קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Lambda} נוחה משתמשים במשפט היחידות של דיריכלה (והוכחתו). משפט היחידות של דיריכלה מספק תיאור מפורש לחבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal O_K^\times} . בהשתמש בתיאור זה אפשר להציג את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Lambda} בתור חיתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S\cap L} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} הוא סריג ב - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^{r_1(K)+2r_2(K)}} (איזומורפי ל - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal O_K} ) ו - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} הוא תחום ב - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^{r_1(K)+2r_2(K)}} . יתר על כן לפנוקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N^K_{\mathbb Q}} יש הרחבה טבעית לפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R^{r_1(K)+2r_2(K)}} . כעת ניתן לקרב את הטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{a\in \Lambda}\big(N^K_{\mathbb Q}(a)\big)^{-s}} באמצעות האינטגרל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_S n(x){-s}dx} באופן מפורש מקבלים שההפרש: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{a\in \Lambda} N^K_\Q(a)^{-s}- \int_S n(x)^{-s}dx} חסום בסביבת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=1} . מכאן שדי לחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{s\to 1} \int_S n(x)^{-s}dx.} זוהי מסימה פשוטה יחסית. הגדלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Reg(K)} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\mu_\infty(K)|} ו - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(K)} מאפינים את התחום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} והפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , לכן הם באים לידי ביתוי בחישוב האינטגאל האחרון.

הנוסחה עבור שדה המספרים הרציונליים

המקרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K=\Q} פשוט בהרבה מהמקרה הכללי. במקרה זה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_2(K)=0} , ו - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1(K)=h(K)=Reg(K)=|\mu_\infty(K)|=D(K)=1} . לכן אגף ימין של הנוסחה הוא 1. כמו כן פונקציית זטא של דדקינד במקרה זה היא פשוט פונקציית זטא של רימן.

מכאן שהנוסחה נובעת מהוכחה הסטנדרטית לקיים המשחת פונקציית פונקציית זטא של רימן לחצי המישור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Re(s)>0} .

אם בוחנים את סכמת ההוכחה למעלה למקרה זה, ראוים ששלבים 1 ו - 2 מיותרים, שכן פונקציית זטא של רימן מוגדרת מלכתחילה כסכום על הטבעיים. שלב 3 פשוט למדי, ומתבטה בהחלפת הסכום בפונקציית זטה של רימן באינטגרל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_1^\infty x^{-s}dx} . חישוב אינטגרל זה (שלב 4) גם הוא פשוט. שנ השלבים האחרונים מהווים למעשה את מהוכחה הסטנדרטית לקיים המשחת פונקציית פונקציית זטא של רימן לחצי המישור החיובי.

הנוסחה עבור הרחבה ריבועית של שדה המספרים הרציונליים

המקרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K=\Q\langle\sqrt d\rangle} מסובך יותר, אולם עדיין פשוט יותר מהמקרה הכללי. מצד שני הוא מכיל את רוב הרעיונות של ההוכחה של המקרה הכללי (אם כי את חלקם בצורה מנוונת).

מקרה זה מתחלק לשני מקרים:

• המקרה השללי - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d<0}
• המקרה החיבי - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d>0}

המקרה השלילי פשוט יותר, מיכיוון שבמקרה זה הרגולטור לא משחק תפקיד.

המקרה השלילי

במקרה זה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Reg(K)=r_2(K)=1} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1(K)=0} , ו - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(K)=d} . כמו כן, במקרה זה חבורת ההפיכים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal O_K^\times} היא סופית ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal O_K^\times=\mu_\infty(K)} .

מכאן, שכמו שהוסבר בסכמת ההוכחה למעלה די לקרב את הסכום: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{a\in \mathcal O_K\smallsetminus 0}\big(N^K_{\mathbb Q}(a)\big)^{-s}.}

זהו למעשה סכום על סריג במישור. קל לקרב סכום זה על ידי אינטגרל של פונקציה על המישור (כמו במקרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K=\Q} ), ואותו קל לחשב על ידי מעבר לקואורדינטות פולריות.

המקרה החיובי

במקרה זה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_2(K)=0} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1(K)=1} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(K)=d} , ו - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\mu_\infty(K)|=2} . כמו כן, במקרה זה חבורת ההפיכים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal O_K^\times} היא המכפלה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_\infty(K)} והחבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (N_Q^K)^{-1}(1)} של האיברים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal O_K} הנורמה שלהם היא 1. חבורה זאת היא חבורה ציקלית חופשית והיא מתוארת על ידי ניתוח הפתרונות של משוואת פל. ניתוח זה הוא למעשה מקרה פרטי פשוט יחסית של משפט היחידות של דיריכלה והוא משחק תפקיד מקביל למשפט זה במקרה של הרחבה ריבועית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Q} עם דיסקרימיננטה חיובית. את הרגולטור של ההרחבה אפשר להביעה באמצעות הפתרון הפרימיטיבי של משוואת פל (זאת אומרת יוצר של החבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (N_Q^K)^{-1}(1)} ).

קשר לנוסחת מספר המחלקה של דיריכלה

ערך מורחב – נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה

עבור מספר שלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} , מספר המחלקה של השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Q\langle\sqrt{d}\rangle} הוא מספר מחלקה של המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} . כמו שנוסחת מספר המחלקה של דדקינד מספקת נוסחה למספר המחלקה של שדה מספרים, נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מספקת נוסחה למספר המחלקה של מספר שלם.

קל להסיק את נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מנוסחת מספר המחלקה של דדקינד עבור הרחבה ריבועית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Q} . באופן מפורש יותר נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מתקבלת ממנה של 2 נוסחאות מחלקה של דדקינד. האחת בשביל הרחבה ריבועית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Q} והשניה בשביל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Q} עצמו. המנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\zeta_K}{\zeta}} היא פונקציית L של דיריכלה עבור קרקטר מתאים. בהתאם אגף שמאל של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה הוא הערך של פונקציית L של דיריכלה ב - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=1} . אגף ימין של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה זהה לאגף ימין של נוסחת מספר המחלקה של דדקינד (עבור הרחבה ריבועית מתאימה).

שימושים

נוסחת מספר המחלקה של דדקינד פותחה כהרחבה של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה. הוכחתה סיפקה הוכחה אלגנטית וקונספטולית לנוסחת מספר המחלקה של דיריכלה. השימוש הראשון של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה היה אי־התאפסות של פונקציית L של דיריכלה ב -1 עבור קרקטר דיריכלה ממשי. נוסחת מספר המחלקה של דדקינד נותנת הוחכה לאי־התאפסות של פונקציית L של דיריכלה ב -1 עבור קרקטר דיריכלה כלשהו. זאת לא הייתה תוצאה חדשה כיוון שדיריכלה הוכיח זאת באמצעים אחרים, אך מדובר בהוכחה קונספטואלית ומפורשת יותר. באופן דומה אפשר להסיק את אי ההאפסות ב -1 של פונקציית L של ארטין מנוסחת מספר המחלקה של דדקינד. אי־התאפסות זאת עומדת בבסיס ההוכחות של משפט הצפיפות של צ'בוטרב ושל משפט פרובניוס.

השימושים האלה משתמשים בנוסחה כדי לקבל מידע על אגף שמאל באמצעות מידע על אגף ימין. רוב השימושים המאוחרים יותר לנוסחת מספר המחלקה של דדקינד הם דווקה בכיוון ההפוך. ליתר דיוק, על-ידי העברת אגפים מקבלים נוסחה שמביעה את מספר המחלקה באמצאות השארית של פונקציית זטא של דדקינד בנקודה 1 ובאמצעות יתר הגורמים בנוסחה. את יתר הגורמים קל יחסית לחשב (במקרים מסוימים). את השארית קשה לחשב במדויק אך ניתן לחשב בקירוב. מכאן אפשר לקבל קירוב למספר המחלקה. אולם, מספר המחלקה הוא מספר שלם. לכן, ברגעה שדיוק הקירוב טוב יותר מ - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac 12} אז אפשר לגלות מספר זה במדויק (וכך גם את השארית לפונקציית זטא של דדקינד).

ראו גם

• נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה
• מספר מחלקה (תורת המספרים)
• משפט דיריכלה
• פונקציית זטא של דדקינד

לקראה נוספת

• The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood

קישורים חיצוניים

• נוסחת מספר המחלקה של דדקינד באתר PlanetMath.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

נוסחת מספר המחלקה של דדקינד38940235Q3291120