בתורת המספרים האנליטית, טור דיריכלה הוא טור מהצורה
, כאשר המקדמים
הם קבועים (בדרך כלל שלמים, או שורשי יחידה), ו-s הוא משתנה מרוכב. טורים מן הסוג הזה הופיעו כבר במאה ה-17 (ראו למשל בעיית בזל), ואוילר מצא דרכים מתוחכמות לקשור אותם אל המספרים הראשוניים. דיריכלה הפך אותם לכלי מרכזי בהוכחת המשפט שלו על ראשוניים בסדרות חשבוניות, והטורים קרויים על-שמו.
דוגמאות
טור הדיריכלה המפורסם ביותר הוא:
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f460a787ebaf667aaf7805f2b87e542a02836b)
שהוא פונקציית זטא של רימן. טור דיריכלה אחר הוא
![{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44321887183e072812ddd22b8ed103e08ced1e0d)
כאשר
היא פונקציית מביוס. טורים נוספים אפשר לפתח על ידי הפעלת נוסחת ההיפוך של מביוס וקונבולוציית דיריכלה על סדרה ידועה.
זהויות אחרות כוללות את
![{\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f24b628c45ac6e0b80d1e76e46246129194cda)
כאשר
היא פונקציית אוילר, ו-
![{\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b67716e684c636366b28b6fdb3d3d6ea056652)
![{\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb1009a72303d8b717203bbea70395759c39275)
כאשר
היא פונקציית המחלקים.
ראו גם
קישורים חיצוניים
34012042טור דיריכלה