פונקציה מרומורפית

פונקציה מֶרוֹמורפית היא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב מלבד בנקודות בקבוצה של קטבים מבודדים. כל פונקציה כזו יכולה להירשם כיחס של שתי פונקציות הולומורפיות כאשר הפונקציה שבמכנה אינה הקבוע 0. להפך, כל מנה כזו היא פונקציה מרומורפית. במקרה כזה, הקטבים הם (חלק מ)הנקודות בהן מתאפסת הפונקציה שבמכנה.

הגדרה מתמטית

עבור תת־תחום $\ D$ של המספרים המרוכבים (משמע $\!\,D\subset \mathbb {C}$) הפונקציה $\ f(z)$ תיקרא מרומורפית ב־$\ D$ אם יש קבוצה בדידה של נקודות $\ S\subset D$ עבורה $\ f(z)$ אנליטית בקבוצה $D\setminus S$ וכל הנקודות בקבוצה $\ S$ הן או נקודות סינגולריות סליקות או קטבים של הפונקציה.

בניסוח שונה, פונקציה מרומורפית בקבוצה $\ D$ היא פונקציה מ־$\ D$ לתוך הספירה של רימן שהיא הולומורפית בכל נקודה – גם בנקודות שתמונתן היא $\ \infty$ ושהיא אינה הפונקציה הקבועה המקבלת את הערך $\ \infty$ .

דוגמאות

פונקציית גמא

• פונקציות רציונליות הן מרומורפיות במישור המרוכב.
• הפונקציה $\ {\frac {z}{\sin z}}$ היא מרומורפית בכל המישור המרוכב. לפונקציה זו יש אינסוף קטבים.
• פונקציית זטא של רימן ופונקציית גמא הן מרומורפיות בכל המישור המרוכב.
• הפונקציה $\ e^{\frac {1}{z}}$ איננה מרומורפית בכל המישור המרוכב משום שיש לה סינגולריות עיקרית ב־0.

תכונות

• אוסף הפונקציות המרומורפיות בתחום $\ D$ מהווה שדה, כלומר הוא סגור לחיבור, חיסור, כפל וחילוק. זהו שדה השברים של חוג הפונקציות ההולומורפיות. שדה זה הוא הרחבה של שדה המספרים המרוכבים (המוכל בשדה הפונקציות המרומורפיות כפונקציות הקבועות).
• את ההגדרה של פונקציה מרומורפית ניתן להרחיב לפונקציות מרוכבות המוגדרות על משטח רימן (למשל, הספירה של רימן או עקום אליפטי). אם העקום הוא קומפקטי, שדה הפונקציות המרומורפיות עליו הוא הרחבת שדות מדרגת טרנסצנדנטיות 1 של המרוכבים.

ממדים גבוהים

עבור יריעות מרוכבות בממד גבוה, מגדירים פונקציה מרומורפית בתור מנה של שתי פונקציות הולומורפיות.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0