המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי או המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי הוא משפט מתמטי הקושר בין שני מושגי היסוד של החשבון האינפיניטסימלי: הנגזרת והאינטגרל. המשפט מראה שגזירה ואינטגרציה הן פעולות הופכיות זו לזו: אם פונקציה רציפה עוברת אינטגרציה ואחר כך גוזרים את התוצאה, חוזרים לפונקציה המקורית. פרט לקשר זה, המשפט גם מספק שיטה מעשית לחישוב האינטגרל המסוים, שהוא מושג שמוגדר בצורה שאינה מאפשרת חישוב פשוט, באמצעות האינטגרל הלא מסוים, שלחישובו יש דרכים רבות יותר.
המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי קובע, שעבור פונקציות אינטגרביליות שיש להן פונקציה קדומה, האינטגרל המסוים בקטע כלשהו, שווה להפרש הערכים של האינטגרל הלא המסוים שלה בנקודות שבקצוות הקטע.
לכאורה שני מושגים אלה שונים, ובאים מעולמות שונים, אבל המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע את הקשר העמוק בין שני התחומים.
ניסוח פורמלי
המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי מורכב בעצם משני משפטים:
משפט
תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): f פונקציה אינטגרבילית בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): [a,b] ויהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \,\mathrm{d}t אינטגרל מסוים שלה, כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): x \in [a,b] . אזי:
- הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): F רציפה.
- בכל נקודה $ x_{0} $ בה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): f רציפה, $ \ F $ גזירה ומתקיים: $ F'(x_{0})=f(x_{0}) $ .
- אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): f רציפה בכל הקטע, אזי קיימת לה פונקציה קדומה בקטע, והפונקציה $ F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t $ היא פונקציה קדומה שמקיימת $ F'=f $ בכל הקטע.
יתרה מזאת, לכל קבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): C מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): F(x)=\int_a^x f(t) \,\mathrm{d}t + C פונקציה קדומה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): f .
נוסחת ניוטון-לייבניץ
תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ f פונקציה אינטגרבילית שיש לה פונקציה קדומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ F בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ [a,b] . אם נסמן $ {\frac {d}{\mathrm {d} x}}F(x)=f(x) $ אזי
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = F(x)\mid_a^b = F(b) - F(a)
נשים לב שאין חשיבות לשאלה איזו פונקציה קדומה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ f לוקחים, מכיוון שכל הפונקציות הקדומות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ f נבדלות זו מזו בקבוע, והוא מתבטל כאשר מחשבים את ההפרש בין ערכי הפונקציה הקדומה בשתי נקודות שונות.
הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מאפשרת לחשב אינטגרלים מסוימים של פונקציות מסוג מסוים.
בתורת המידה מוכללת נוסחה זו למשפחה רחבה יותר של פונקציות, הפונקציות הרציפות בהחלט. ניתן להראות גם שזו משפחת הפונקציות הרחבה ביותר עבורה מתקיימת נוסחה זו. ישנן פונקציות רציפות וגזירות כמעט בכל מקום (אבל לא בכל מקום) שאינן האינטגרל של נגזרתן (ראו פונקציה סינגולרית).
הוכחה
הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): F רציפה
נתון ש־$ {\textstyle f} $ אינטגרבילית לפי רימן ולכן היא חסומה, כלומר קיים $ {\textstyle M\in \mathbb {R} } $ כך ש־$ {\textstyle \left|f(x)\right|\leq M} $ לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x \in \left[ a, b \right]} . יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x, y \in \left[ a, b \right]} , אזי מתקיים:
- $ {\displaystyle \ \left|F(x)-F(y)\right|=\left|\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{a}^{y}f(t)\,\mathrm {d} t\right|=\left|\int _{y}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{y}^{x}\left|f(t)\right|\,\mathrm {d} t\leq M\left|x-y\right|} $
כלומר $ {\textstyle F} $ מקיימת את תנאי ליפשיץ ב־$ {\textstyle \left[a,b\right]} $, ולכן היא רציפה במידה שווה (וּבִֿפֿרט רציפה).
הפונקציה $ f $ היא נגזרת של $ F $ בנקודות הרציפות שלה
תהא $ \ x_{0} $ נקודת רציפות של $ \ f $. אנו רוצים להראות כי $ \ F'(x_{0})=f(x_{0}) $ כאשר $ \ F=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t $.
בסימון פורמלי יותר: אנו רוצים להראות כי $ \ \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}=f(x_{0}) $.
על פי ההגדרה ואדיטיביות האינטגרל המסוים, אנו יודעים שמתקיים: $ \ {\frac {F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}={\frac {1}{h}}\left(\int _{a}^{x_{0}+h}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{a}^{x_{0}}f(t)\,\mathrm {d} t\right)={\frac {1}{h}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(t)\,\mathrm {d} t $.
כמו כן מתקיים $ \ f(x_{0})={\frac {1}{h}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(x_{0})\,\mathrm {d} t $, שכן $ \ f(x_{0}) $ היא קבוע, ולכן האינטגרל שלה על הקטע $ \ [x_{0},x_{0}+h] $ הוא פשוט אורך הקטע כפול $ \ f(x_{0}) $.
לכן מתקיים, על פי אי שוויון המשולש האינטגרלי: $ \ \left|{\frac {F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}-f(x_{0})\right|=\left|{\frac {1}{h}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}\left(f(t)-f(x_{0})\right)\,\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {1}{|h|}}\left|\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}\left|f(t)-f(x_{0})\right|\,\mathrm {d} t\right| $.
נזכור כי $ \ f(x) $ רציפה בנקודה $ \ x_{0} $, ולכן עבור $ \ \varepsilon >0 $ כלשהו קיים $ \ \delta >0 $ כך ש-$ \ |t-x_{0}|<\delta $ גורר $ \ |f(t)-f(x_{0})|<\varepsilon $.
אם $ \ 0<|h|<\delta $ אז לכל $ \ t\in [x_{0},x_{0}+h] $ מתקיים $ \ |t-x_{0}|<\delta $. לכן:
$ \ {\frac {1}{|h|}}\left|\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}\left|f(t)-f(x_{0})\right|\,\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {1}{|h|}}\left|\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}\varepsilon \,\mathrm {d} t\right|={\frac {1}{|h|}}\varepsilon \cdot |h|=\varepsilon $.
כלומר, הראינו כי לכל $ \ \varepsilon >0 $ ניתן למצוא $ \ \delta >0 $ כך שלכל $ \ |h|<\delta $ יתקיים $ \ \left|{\frac {F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}-f(x_{0})\right|<\varepsilon $, כלומר $ \ \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}=f(x_{0}) $, כמבוקש.
מ.ש.ל.
קיום פונקציה קדומה בקטע ונוסחת ניוטון-לייבניץ
הוכחת המשפט במקרה פרטי של פונקציה רציפה.
אם $ \ f $ רציפה בכל הקטע $ \ [a,b] $ אז היא בפרט אינטגרבילית בו (רציפות גוררת אינטגרביליות) ואז כפי שראינו קודם, הפונקציה $ \ F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t $ מקיימת לכל נקודה שבה $ \ f $ רציפה (במקרה זה, כל הקטע) $ \ F'(x)=f(x) $. לכן $ \ F(x) $ היא פונקציה קדומה של $ \ f(x) $ בקטע.
על פי הגדרה: $ \ F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t $.
כעת, כל שתי פונקציות קדומות של $ \ f(x) $ נבדלות ביניהן בקבוע. כי נניח ש-$ \ F(x),G(x) $ שתיהן פונקציות קדומות של $ \ f(x) $, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \left(F(x)-G(x)\right)'=f(x)-f(x)=0 , כלומר הפונקציה $ \ F(x)-G(x) $ היא קבוע, כלומר $ \ F(x)=G(x)+c $.
על כן: $ \ G(b)-G(a)=F(b)-c-\left(F(a)-c\right)=F(b)-F(a) $, וזאת לכל פונקציה קדומה $ \ G(x) $ של $ \ f(x) $.
בזאת הושלמה הוכחת הנוסחה היסודית עבור פונקציה רציפה.
מ.ש.ל.
הערות:
- כדי להוכיח את המשפט עבור המקרה הכללי שf אינטרבילית וF היא פונקציה קדומה של f בכל הקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ [a,b] יש להשתמש בסכומי רימן ומשפט הערך הממוצע של לגראנז'.
- המשפט אף נכון למקרה מוכלל בו f אינטגרבילית ופרט למספר סופי של נקודות F היא פונקציה קדומה של f ורציפה. ההוכחה דומה להערה 1.
הוכחה לנוסחת ניוטון-לייבניץ שאינה מתבססת על המשפט היסודי
תהי $ P=(a=t_{0}<\cdots <t_{n}=b) $ חלוקה כלשהי של $ \ [a,b] $. אז לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' מתקיים: $ {\displaystyle \exists x_{i}\in (t_{i-1},t_{i}):F(t_{i})-F(t_{i-1})=F'(x_{i})(t_{i}-t_{i-1})=f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1})} $ עבור $ \ i=1,...,n $; כעת נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_{i}=\underset{x\in[t_{i-i},t_{i}]}{\sup}f(x);\quad m_{i}=\underset{x\in[t_{i-i},t_{i}]}{\inf}f(x)} ונקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{i}(t_{i}-t_{i-1})\leq f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1})\leq M_{i}(t_{i}-t_{i-1})} כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{i}(t_{i}-t_{i-1})\leq F(t_{i})-F(t_{i-1})\leq M_{i}(t_{i}-t_{i-1})} נסכום את המשוואה האחרונה עבור $ \ i=1,...,n $ ונקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(P)=\sum_{i=1}^n m_{i}(t_{i}-t_{i-1})\leq\sum_{i=1}^n F(t_{i})-F(t_{i-1})\leq\sum_{i=1}^n M_{i}(t_{i}-t_{i-1})=S(P)} נשים לב ש- $ {\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}}F(t_{i})-F(t_{i-1})=F(b)-F(a)} $(שהרי זהו סכום טלסקופי) ונקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(P)\leq F(b)-F(a)\leq S(P)} עבור כל חלוקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ P . אם כך מהגדרת האינטגרל התוצאה נובעת ישירות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \square\qquad\qquad\qquad F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x) \,\mathrm{d}x}
הכללות
הכללה טבעית של המשפט היסודי של החדו"א לשני ממדים היא משפט גרין. בממדים גבוהים יותר קיימות הכללות מורכבות יותר, כגון משפט גאוס, משפט סטוקס ומשפט הדיפרנציאציה של לבג.
קישורים חיצוניים
.gif){kind=link}
- המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, באתר MathWorld (באנגלית)
- המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
גדי אלכסנדרוביץ', המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, באתר "לא מדויק", 2 בינואר 2011
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי34362781Q1217677