אי-שוויון המשולש האינטגרלי

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אי-שוויון המשולש האינטגרלי הוא גרסה של אי-שוויון המשולש עבור הנורמה האינטגרלית.

אם $ f $ פונקציה אינטגרבילית בקטע $ [a,b] $ אזי מתקיים $ {\bigg |}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx{\bigg |}\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx $ .

הערה: ניתן להוכיח כי אם $ f $ אינטגרבילית בקטע, אזי גם $ |f| $ אינטגרבילית שם.

הוכחה

לכל $ x\in [a,b] $ מתקיים: $ -{\bigl |}f(x){\bigr |}\leq f(x)\leq {\bigl |}f(x){\bigr |} $

מתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק כי

$ {\begin{aligned}\int \limits _{a}^{b}-{\bigl |}f(x){\bigr |}dx&\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\\-\int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx&\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\end{aligned}} $

נקבל כי $ {\bigg |}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx{\bigg |}\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx $

$ \blacksquare $