אי-שוויון המשולש האינטגרלי

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אי-שוויון המשולש האינטגרלי הוא גרסה של אי-שוויון המשולש עבור הנורמה האינטגרלית.

אם $f$ פונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ אזי מתקיים ${\bigg |}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx{\bigg |}\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx$ .

הערה: ניתן להוכיח כי אם $f$ אינטגרבילית בקטע, אזי גם $|f|$ אינטגרבילית שם.

הוכחה

לכל $x\in [a,b]$ מתקיים: $-{\bigl |}f(x){\bigr |}\leq f(x)\leq {\bigl |}f(x){\bigr |}$

מתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק כי

${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{b}-{\bigl |}f(x){\bigr |}dx&\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\\-\int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx&\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\end{aligned}}$

נקבל כי ${\bigg |}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx{\bigg |}\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx$

$\blacksquare$