במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אי-שוויון המשולש האינטגרלי הוא גרסה של אי-שוויון המשולש עבור הנורמה האינטגרלית.
אם
פונקציה אינטגרבילית בקטע
אזי מתקיים
.
הערה: ניתן להוכיח כי אם
אינטגרבילית בקטע, אזי גם
אינטגרבילית שם.
הוכחה
לכל
מתקיים:
מתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק כי
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{a}^{b}-{\bigl |}f(x){\bigr |}dx&\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\\-\int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx&\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3933bed8824aee84283881d499626969f0a4d01c)
נקבל כי