פונקציה סינגולרית

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

פונקציית קנטור, דוגמה לפונקציה סינגולרית

באנליזה מתמטית, פונקציה סינוגלריית היא פונקציה ממשית רציפה בעלת השתנות חסומה ולא קבועה המוגדרת בקטע, ושנגזרתה מתאפסת כמעט בכל מקום.

ידוע שפונקציה שנגזרתה מתאפסת בכל מקום היא פונקציה קבועה. הפונקציות הסינגולריות מתקבלות כאשר מחלישים מעט את התנאי, ומאפשרים לנגזרת שלא להתאפס (ואפילו לא להיות מוגדרת) בחלק מהנקודות, כל עוד קבוצת הנקודות שבה הנגזרת לא מתאפסת היא זניחה (קבוצה ממידה אפס).

במקורות מסוימים בוחרים לדרוש שהפונקציה גם לא יורדת. יש גם מקורות שלא דורשים שהפונקציה תהיה רציפה.

דוגמאות

• פונקציית קנטור – זוהי פונקציה רציפה ולא יורדת בקטע היחידה שקבועה בכל קטע שמוסר בבנייה של קבוצת קנטור ולכן היא סינגולרית.
• הפונקציה הסינגולרית של לבג – מטילים אינסוף פעמים מטבע לא הוגן שההסתברות שייצא עץ היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\ne\tfrac12} וההסתברות שייצא פלי היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-p} . מגדירים מספר ממשי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X\in[0,1]} כך שהספרה הבינארית ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ית שלו היא 1 אם בהטלה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} יצא עץ, ו-0 אם בהטלה ה-n יצא פלי. פונקציית ההצטברות של המשתנה המקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X}  : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_p(t)=P(X\le t)} היא הפונקציה הסינגולרית של לבג עם הפרמטר $p$ . זוהי פונקציה עולה ממש ורציפה שלמרות זאת נגזרתה מתאפסת כב"מ.
• פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי – פונקציה המוגדרת לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{?}(x)=a_0+2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{2^{a_1+\cdots+a_n}}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=[a_0;a_1,a_2,\ldots]} היא ההצגה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} כשבר משולב (מגדירים באופן אנלוגי לשבר משולב סופי). הפונקציה עולה ממש ובעלת מספר תכונות מעניינות. למשל היא ממפה שורשים של משוואה ממעלה שנייה למספרים רציונליים ומקיימת משוואות פונקציונליות מעניינות.

תכונות

אינטגרל לבג אינו מושפע מקבוצות ממידה אפס, ולכן לצורכי אינטגרציה של הנגזרת ניתן להניח שהנגזרת של פונקציה סינגולרית מוגדרת בכל מקום כפונקציית האפס.

פונקציות סינגולריות אינן אינטגרל לא-מסוים של הנגזרת שלהן (בניגוד לקביעה של נוסחת ניוטון-לייבניץ העוסקת בפונקציות גזירות בכל מקום). מכיוון שפונקציה סינגולרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} אינה קבועה קיימות נקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a<b} בתחומה עבורן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(a)\ne f(b)} , ולכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\limits_a^bf'd\lambda=0\ne f(b)-f(a)}

זאת מכיוון שפונקציה סינגולרית אמנם רציפה, אך אינה רציפה בהחלט בקטע. ידוע שפונקציה היא אינטגרל לא-מסוים של הנגזרת שלה בקטע אם ורק אם היא רציפה בהחלט בקטע. כל אינטגרל לא-מסוים הוא רציף בהחלט, ולכן פונקציה סינגולרית אינה אינטגרל מסוים של אף פונקציה.

פירוק לבג

לכל פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} יש פירוק מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f=f_1+f_2} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1} רציפה בהחלט ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2} סינגולרית או קבועה. הפירוק יחיד עד כדי חיבור קבוע לרכיב אחד וחיסורו מהרכיב השני. אפשר גם לדרוש כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(a)=f_1(a)} ואז הפירוק יחיד לגמרי (ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2} סינגולרית או זהותית 0). משפט זה הוכח על ידי אנרי לבג ב-1904. בהסתמך על התכונות הידועות של פונקציות רציפות בהחלט ההוכחה פשוטה:

נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1(x)=\int\limits_a^xf'd\lambda+f(a)} (פונקציה בעלת השתנות חסומה היא גזירה כב"מ ולכן הביטוי מוגדר היטב). כל אינטגרל לא-מסוים הוא רציף בהחלט ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1} רציפה בהחלט (ובפרט בעלת השתנות חסומה). פונקציה רציפה בהחלט היא אינטגרל לא-מסוים של הנגזרת שלה ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1'=f'} כב"מ. נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2=f-f_1} . זו פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה (כהפרש פונקציות רציפות בעלות השתנות חסומה) ומתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2'=f'-f_1'=0} כב"מ, ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_2} סינגולרית או קבועה.

נראה שהפירוק יחיד. נניח שגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f=g_1+g_2} פירוק של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} ומתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(a)=g_1(a)} . אז מתקיים כב"מ:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f_1-g_1)'=\bigl((f-f_2)-(f-g_2)\bigr)'=g_2'-f_2'=0}

אולם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1-g_1} רציפה בהחלט ולכן אינה סינגולרית. מכאן שהיא קבועה. נשים לב כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f_1-g_1)(a)=f(a)-f(a)=0} ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1-g_1} פונקציית האפס. קיבלנו כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1=g_1,f_2=g_2} כנדרש.

אם מתירים לפונקציה סינגולרית קבוצה בת מנייה של נקודות אי-רציפות, אז לכל פונקציה בעלת השתנות חסומה (לא בהכרח רציפה) יש פירוק לבג. ההוכחה זהה, בתוספת העובדה שקבוצת נקודות האי-רציפות של פונקציה בעלת השתנות חסומה היא בת-מנייה, והיא גזירה כב"מ.

לקריאה נוספת

• R. SALEM, On some singular monotonic functions what are strictly increasing

קישורים חיצוניים

• פונקציה סינגולרית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)

הערות שוליים

פונקציה_סינגולרית18618237Q2374166