ארכימדס

ארכימדס
Άρχιμήδης

"ארכימדס מהורהר", ציור של דומניקו פטי
"ארכימדס מהורהר", ציור של דומניקו פטי
לידה	287 לפנה"ס
פטירה	212 לפנה"ס (בגיל 75 בערך)
ענף מדעי	פיזיקה, מתמטיקה, הנדסה
מקום מגורים	יוון הגדולה
תרומות עיקריות
נחשב לאחד מהמדענים המובילים של העת העתיקה. בנוסף לתגליות בתחומי המתמטיקה והגאומטריה, תכנן מכונות רבות. הוא הוביל את הבנת יסודות ההידרוסטטיקה, ותיאר את החוק עליו מבוסס המנוף. הפיתוחים בחשבון אינפיניטסימלי

אַרְכִימֶדֶס (יוונית: Άρχιμήδης;‏ 287 – 212 לפס"נ) היה מתמטיקאי, פיזיקאי, פילוסוף, מהנדס, ממציא ואסטרונום יווני. אף־על־פי שמעט ידוע על חייו, הוא נחשב לאחד המדענים המובילים של העת העתיקה.

כתלמיד בבית הספר של אוקלידס, ארכימדס החל את דרכו בלימוד עבודתו שלו ושל ממשיכיו, אך עד מהרה עבודתו עלתה בהרבה על כל קודמיו, וכיום הוא נחשב לגדול המתמטיקאים של העת העתיקה. ארכימדס חזה את החשבון האינטגרלי והאנליזה המודרנית, ונעזר במושג האינפיניטסימל ובשיטת המיצוי כדי לגזור ולהוכיח ריגורוזית מגוון של משפטים גאומטריים, ביניהם שטח המעגל, שטח הפנים והנפח של הספירה, והשטח החסום תחת פרבולה - אשר במסגרת חישובו ביצע את הסיכום הידוע הראשון של טור אינסופי. השגים מתמטיים אחרים שלו הם מתן אמדן מדויק למדי לקבוע המתמטי פאי (שנקרא מאז "מספר ארכימדס"), הגדרת הספירלה הנושאת שמו, וחקירתה ויצירת מערכת חדשה לכתיב מספרים גדולים מאוד.

הוא היה בין הראשונים ליישם את המתמטיקה לחקר תופעות פיזיקליות, וייסד את מדעי ההידרוסטטיקה והסטטיקה בכך שתיאר את החוק הראשון של ההידרוסטטיקה (הידוע כחוק ארכימדס או חוק הציפה) ותיאר גם את החוק עליו מבוסס המנוף, המכשיר עליו מבוססת המכניקה. הוא יישם את הכלים המתמטיים שפיתח לחקר בעיות הידרוסטטיות הנוגעות ליציבותם של גופים במים (בספרו "על גופים צפים"), וגם יישם את הידע הזה בבניית הספינה הגדולה ביותר שנבנתה בעת העתיקה, הסירקוזיה. בנוסף לתגליות בתחומי המתמטיקה, הגאומטריה, והפיזיקה, תכנן ארכימדס מכונות רבות שהיו חדשניות מאוד. נזקפות לזכותו המצאות חדשניות רבות, ביניהם משאבת הבורג המפורסמת שלו, מערכות גלגלות מורכבות, ומכונות מלחמה הגנתיות שנועדו להגן על מולדתו סירקוסאי מפלישת רומי. ההיסטוריונים של רומא העתיקה הראו עניין רב בארכימדס וכתבו חיבורים רבים על חייו ועבודתו. העתקים ספורים של חיבוריו שרדו במהלך ימי הביניים, והיוו מקור משפיע של רעיונות עבור מדענים במהלך הרנסאנס, במהלך המהפכה המדעית ועד לימנו.

ארכימדס נרצח במהלך המצור על סירקוסאי. על־פי האגדה, בזמן הפלישה הרומאית לסירקוסאי, ארכימדס היה שקוע כולו בלימוד צורה גאומטרית שצוירה בחול, ולפיכך לא השיב לשאלות התחקור של חייל רומאי. כתוצאה מכך הוא נדקר למוות. היסטוריון המתמטיקה אריק טמפל בל מנה את ארכימדס כאחד משלושת המתמטיקאים הגדולים בכל הזמנים, יחד עם אייזק ניוטון וקרל פרידריך גאוס, ורבים נוספים מחשיבים את עבודתו המתמטית לחשובה ביותר.

ביוגרפיה

ארכימדס הוכיח שנפחו ושטח פניו של הכדור מהווים 2/3 מאלו של הגליל (כולל הבסיסים שלו)

ארכימדס נולד בשנת 287 לפס"נ בעיר הנמל סירקוסאי, סיציליה. תאריך מותו המשוער בשנת 212 לפס"נ מבוסס על טיעוניהם של היסטוריונים כי חי 75 שנה. בחיבורו מחשב החול, מזכיר ארכימדס את שם אביו פידיאס, אסטרונום עליו לא ידוע דבר. פלוטארכוס כתב בחיבורו שארכימדס היה קרוב משפחה של המלך היירון השני, טיראן סירקוסאי. הביוגרפיה של ארכימדס נכתבה על ידי חברו היריקלידס אבל עבודה זו אבדה, והשאירה את פרטי חייו מעורפלים. לא ידוע אם הוא נישא אי פעם או אם היו לו ילדים. ארכימדס בילה חלק משנות חייו המוקדמות באלכסנדריה שבמצרים, שהייתה אז מרכז חשוב של התרבות ההלניסטית, שם הוא למד אצל ממשיכיו של אוקלידס.

ממצרים שב לסירקוסאי ופעל בה במשך שנים רבות, בה גם מצא את מותו, בעת כיבוש העיר על־ידי הרומאים. על־פי המסופר הורה מרקוס קלאודיוס מרקלוס, מפקד כוחות הרומאים, שלא לפגוע בארכימדס. אחד מחייליו של מרקלוס נתקל בארכימדס, שהיה עסוק בפתרון בעיה גאומטרית ששירטט בחול. "אל תמחק את המעגלים שלי" (ביוונית: μή μου τούς κύκλους τάραττε; בלטינית: nuli turbare circulos meos), אמר ארכימדס לחייל, שלא ידע בפני מי הוא עומד, וזה הרגו בכעסו. על־פי תיאורו של קיקרו, שביקר בקברו כ־150 שנה לאחר מותו, על מצבתו של ארכימדס היה חרות הישגו המתמטי המועדף של ארכימדס – כדור החסום בגליל בעל גובה וקוטר זהים [2]. ארכימדס הוכיח שנפחו ושטח פניו של הכדור מהווים 2/3 מאלו של הגליל (כולל הבסיסים שלו).

מחקריו הביאו אותו עד לסף^{[דרושה הבהרה]} החשבון האינטגרלי, ענף המתמטיקה שפותח רק כעבור 1800 שנה על־ידי ניוטון ולייבניץ.

עם מותו נשכח גאון המתמטיקה היווני, ורק בתקופת המאה ה-16 שב לתודעת העולם המדעי.

אאורקה

ערך מורחב – אאורקה

קריקטורה על קריאת אאוריקה של ארכימדס

על פי אנקדוטה מפורסמת שסופרה על־ידי ויטרוביוס בכרך התשיעי של הספר "על אודות האדריכלות", נתבקש ארכימדס לקבוע האם הכתר של המלך היירון השני עשוי מזהב טהור. כדי למצוא את הרכב הכתר היה צריך להשוות את נפחו לנפח של כתר זהב באותו משקל, אולם אז לא ידעו איך למדוד את נפח הכתר. בעת שארכימדס רחץ באמבט ציבורי הוא הבין שגופו השקוע באמבט דוחה כמות מים השווה לנפח גופו. בדרך זו הוא למד כיצד למדוד נפח של גוף כלשהו. מרוב התלהבות יצא בריצה לרחוב כשהוא עירום וצועק "אאורקה!" (מצאתי). הסיפור ככל הנראה לא מדויק משום שהבדלי הנפח בין כתר זהב לכתר מזויף באותו משקל, יגרמו לעליית פני המים בהפרש קטן מדי מכדי שיבחינו בו במכשירי המדידה של אותם ימים.

תגליות והמצאות

בורג ארכימדס – אמצעי יעיל לשאיבת מים

איור של המנוף של ארכימדס – עבודתו על מנופים גרמה לו לקבוע: "תנו לי נקודת משען ואניף את העולם"

"קרני החום" של ארכימדס

הסיפור המוזכר למעלה על הכתר המוזהב אינו מופיע בעבודותיו הידועות של ארכימדס, אבל בחיבורו "על גופים צפים" הוא תיאר את החוק הידוע בהידרוסטטיקה כחוק ארכימדס. חוק זה קובע שעל גוף השקוע בנוזל פועל כוח ציפה השווה למשקל הנוזל הנדחה על־ידי הגוף.

אף־על־פי שארכימדס לא המציא את המנוף, הוא רשם את ההסבר הידוע המוקדם ביותר של החוק המעורב בתהליכי מנוף, כמו גם את התיאור המוקדם ביותר של המושג מרכז כובד. לפי פאפוס מאלכסנדריה, עבודתו על מנופים גרמה לו לקבוע: "תנו לי נקודת משען ואניף את העולם". פלוטארכוס מתאר כיצד ארכימדס תיכנן מערכות משיכה המורכבות מגלגלות, אשר איפשרו למלחים להיעזר בעוצמתם של מנופים כדי להרים דברים שהיו כבדים מדי להרמה.

חלק נכבד מיצירותיו ההנדסיות של ארכימדס מוקדש היה לצרכיה של עיר הולדתו סירקוסאי. הסופר היווני אתנוס תיאר איך הפקיד הירון השני בידי ארכימדס את תכנונה של הספינה סירקוסיה, שיעשה בה שימוש לטיולי מותרות, הובלת אספקות של צרכים שונים, וכספינת מלחמה ימית. ארכימדס נענה לבקשתו, וזו הפכה לספינה הגדולה ביותר שנבנתה בתקופת העת העתיקה. לפי אתנוס, הספינה היתה מסוגלת להוביל 600 אנשים וכללה קישוטי גינה, גימנסיון ומקדש שהוקדש לאלילה אפרודיטה. לתחזוקת הספינה תכנן אמצעי לשאיבת מים שהמציא: בורג ארכימדס – התקן מכני המורכב מלהב בורגי המסתובב בתוך גליל, אשר מטרתו היתה לשאוב את המים הרבים שדלפו לתוך הספינה. עקרון הפעולה הגאוני העומד מאחורי המצאת הבורג הוא המרת תנועה סיבובית לתנועה לינארית בנצילות אנרגטית גבוהה. אף־על־פי־כן, במחקר המודרני הוערך כי נעשה שימוש בבורג עוד לפני ארכימדס, למשל כאמצעי להשקיית הגנים התלויים בבבל. בכל אופן, ארכימדס המציא מחדש את הבורג או שיפר משמעותית את הבורג והציג אותו לראשונה בעולם היווני, והשיפורים שהכניס בפרופורציות של הבורג מעידים שהוא היה גם הראשון לנתח באופן תאורטי את הקינמטיקה של הבורג (כפי הנראה הוא עסק בעקרונות התאורטים של פעולת הבורג באחת מעבודותיו האבודות). מתקנים על בסיס בורג ארכימדס משמשים עד היום להובלת נוזלים, גרעינים ואבקות.

כושר ההמצאה של ארכימדס ויכולתו ההנדסית באו לידי ביטוי באופן מיוחד בפעולותיו לשם הגנת סירקוסאי מפני הרומאים במלחמה הפונית השנייה. פלוטארכוס העיד, שהמצאותיו הצבאיות של ארכימדס מנעו את נחיתת הצי הרומי, בפיקודו של מרקלוס. ארכימדס שיפר את העוצמה והדיוק של הקטפולטה, המציא בליסטראות שהמטירו על הרומאים סלעים שמשקלם רבע טון לפחות, ומכונות אימתניות ששלחו "מקלות וציפורניים" מברזל אל מעבר לחומות העיר, תפשו את הספינות וסחררו אותן אל הסלעים. הסופר בן המאה ה־2 לספירה לוקיאן כתב כי במהלך המצור על סירקוסאי ארכימדס הרס ספינות אויב באש. מספר מאות מאוחר יותר יש אזכור בספרות כי ארכימדס השתמש במראות קעורות ענקיות כדי למקד את קרני השמש על ספינות בים כדי להביא להתחממותן עד לנקודת שרפה. האמינות ההיסטורית של קיום המכשיר היוותה נושא לדיון מתמשך מאז ימי הרנסאנס, ובניסויים בני ימינו הוכח כי כפי הנראה המראות שימשו יותר כדי לסנוור ולהרתיע את צוותי ספינות האויב. אחרי כשלונו הראשון לכבוש את סירקוסאי כינה מרקלוס את ארכימדס: "בריארוס (מפלצת מיתולוגית בעלת 100 זרועות) הנדסי, המשתמש בספינותיו כספלים לשאיבת מי הים".

ארכימדס גם המציא "מד מרחק" (odometer) המבוסס על נפילת כדור בכל מיל נסיעה של עגלה. מד המרחק של ארכימדס תואר כמכאניזם גלגלי שיניים מורכב המפיל כדור לתוך מיכל בכל מיל נסיעה של עגלה. בהקשר זה ראוי לציין כי ארכימדס גם המציא שעון מים מתוחכם – המבוסס על מנגנון מורכב לרגולציה של זרימת המים לצורך מדידה מדויקת של זמן. ארכימדס כתב חיבור שכותרתו על שעוני מים (On Water Clocks) על הבנייה של מנגנונים כאלה.

ישנם המייחסים היום לארכימדס את התחלתה של מסורת של בניית מנגנונים מכניים ששיאה בתכנון ובניית מנגנון אנטיקיתרה - מחשב אנלוגי מכאני קדום שהקדים את זמנו ב־1,500 שנה לערך, אשר שימש לצורך חישוב מועדם של ליקויי ירח וליקויי חמה עתידיים, ושבבנייתו נעשה שימוש במיטב הידע האסטרונומי של אותה עת. הראיות ההיסטוריות לכך מתבססות על דבריו של קיקרו אשר מזכיר את ארכימדס בדיאלוג שלו הרפובליקה. לפי קיקרו, הגנרל מרקוס קלאודיוס מרקלוס הביא אתו לרומא שתי מכונות שנבנו על־ידי ארכימדס, שנעשה בהם שימוש לצורך הדגמות אסטרונומיות, ואשר הראו את תנועת השמש, הירח וחמש פלנטות נוספות. המכונה שהביא איתו מרקלוס, הודגמה, לפי דבריו של קיקרו, בידי גאיוס סולפיציוס גאלוס ללוציוס פוריוס פילוס, אשר תיאר אותה כך:

Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso" caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione."

"כאשר גאלוס הניע את הגלובוס, התרחשה תנועה של השמש והירח על ההתקן מברונזה שתאמה במדויק את תנועותיהם בשמים, כך שכאשר בשמים אמור היה להתרחש ליקוי חמה, הירח נע כך שיעמוד במקום שבו הוא יעמוד בקו אחד עם השמש וכדור הארץ, וכך הטיל את צלו על הארץ."

זהו תיאור של פלנטריום. לפי פאפוס מאלכסנדריה, ארכימדס כתב חיבור (שכעת אבוד) על הבנייה של מכניזמים כאלה תחת הכותרת על הכנת כדור (On Sphere-Making). קיקרו אף מוסיף ומציין כי מכונות דומות נבנו בעבר על־ידי תאלס איש מילאטוס ואאודוקסוס מקנידוס, אך לפי קיקרו, מכונתו של ארכימדס הצטיינה בכך שהוא תכנן דרך להניע את הפלנטות במדויק, ועל־ידי מכשיר יחיד, בהתאם למסלוליהם השונים וקצבי המהירות המשתנים שלהם, ובכך זכתה להערכה מיוחדת. מבין המצאותיו של ארכימדס, הקדמונים העריכו במיוחד את המצאת הפלנטריום (שנראתה פלאית באותה עת), ומצבור הראיות ההולך וגדל מעיד שהיתה מסורת יוונית של בניית התקנים מכאניים מורכבים שראשיתה בארכימדס.

מתמטיקה

נוסף לפרסומו כמתכנן של מכשירים מכאניים, נודע ארכימדס גם בזכות הישגיו במתמטיקה. השגים אלה מעידים על יצירתיות וחזון. פלוטארכוס כתב עליו: "הוא הפנה את מלוא החיבה והשאיפה שלו לתחומים הטהורים הללו אשר אין להם קשר לצרכים הרגילים של החיים".

ארכימדס היה הראשון שהשתמש בגדלים אינפיניטסימלים באמצעות חלוקת קבוצה לאינסוף תת־קבוצות השואפות בגודלן לאפס, הוא הגיע לדיוק המרבי האפשרי לגבי גודל הקבוצה. שיטה זו ידועה בשם "שיטת המיצוי", והיא מהווה צעד ראשון לקראת ההחשבון האינפיניטסימלי. ארכימדס נעזר בשיטה זו כדי לחשב את שטחו של עיגול, בכך גילה את הנוסחה המפורסמת לשטח מעגל המיוחסת לו:

$A=\pi R^{2}$

כאשר $A$ הוא שטח המעגל, $\pi$ הוא היחס בין הקף המעגל לקוטרו, $R$ הוא רדיוס המעגל. הוא אף הציג שיטה לחישוב $\pi$ בכל דיוק רצוי, וחישב את ערכו

$3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}$

בחיבורו "על הכדור והגליל" קובע ארכימדס שכל גודל כאשר הוא מתווסף לעצמו מספיק פעמים יעבור כל גודל נתון. זה ידוע כתכונת ארכימדס של המספרים הממשיים.

ארכימדס השתמש בשיטת המיצוי כדי לאמוד את ערכו של $\pi$

ארכימדס לא הסתפק בחישוב שטחו של עיגול. הוא נעזר שוב בשיטת המיצוי והמציא שיטות לחישוב שטחים ונפחים, חישב שטחים החסומים בפרבולות ובספירלות, נפחי גלילים, פרבולואידים ומקטעים כדוריים. הוא מצא את מרכזי הכובד של ההמיספירה (חצי כדור), ושל טריז גלילי, ובכך חזה שוב את החשבון האינפיניטסימלי. הוא הוכיח ששטחו ונפחו של כדור הוא ביחס של 2:3 לשטחו ונפחו של גליל החוסם כדור זה. כיון שנוסחאות לחישוב שטח ונפח של גליל היו ידועות, הוכחתו של ארכימדס סיפקה לראשונה נוסחאות לחישוב שטח ונפח של כדור.

ארכימדס היה הראשון, ואולי אף היחיד, מבין המתמטיקאים היוונים שעסק בעקומים מכאניים (כאלה שנוצרים על־ידי נקודה נעה), בראותו עקומים אלה כנושא ראוי לחקירה, בניגוד לדבקותם של המתמטיקאים היוונים בבנייה בסרגל ובמחוגה בלבד. במסגרת חקירתו זו השתמש בספירלת ארכימדס לשם תרבוע העיגול, ולשם שילוש זווית (בחיבורו "על ספירלות").

בחיבורו "על המדידה של המעגל", מצא ארכימדס כי השורש הריבועי של 3:

$1{\frac {112}{153}}<{\sqrt {3}}<1{\frac {571}{780}}$

הערך המחושב של גודל זה הוא 1.7320508076, ולכן אמדן זה מדויק מאוד. ככל הנראה הוא הגיע להערכה זאת באמצעות שיטות חדשות למציאת שורשים שהמציא, אך הוא לא תיאר ולא הסביר את שיטותיו.

בחיבורו "תרבוע הפרבולה", הוכיח ארכימדס שהשטח הכלוא על־ידי פרבולה וישר שווה ${\tfrac {4}{3}}$ פעמים שטחו של המשולש בעל גובה ובסיס שווים. במהלך הפתרון הוא סיכם לראשונה את הטור ההנדסי האינסופי בעל מנה ${\tfrac {1}{4}}$ :

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}$

ב"מחשב החול", ניסה ארכימדס לחשב את מספר גרגירי החול שהיקום עשוי להכיל. במטרה להראות שמספר גרגירי החול ביקום אמנם גדול מאד אבל סופי. כדי לספור את גרגירי החול, ארכימדס המציא שיטה חדשה שהתבססה על הסמל היווני לרבבה (10,000) לרישום מספרים גדולים עד $10^{8\cdot 10^{16}}$ .

כתבים חדשים שנכתבו על־ידי ארכימדס ונחשפו בזמננו גרמו להרמת קרנו בעיני היסטוריוני המתמטיקה. בכתבים הללו נתגלו תובנות עמוקות של המושגים של אינסוף וקבוצה בת מנייה, תובנות אשר לא הושגו עד לזמנו של גאורג קנטור, שחי כ־2,000 שנה אחרי ארכימדס (ארכימדס התחבט בגרסה של הפרדוקס של גלילאו). כמו כן, בעקבות עבודות שחזור ומחקר שנעשו על הפלימפססט של ארכימדס הועלתה ההשערה, שארכימדס עסק בשאלות קומבינטוריות, יותר מאלפיים שנה לפני המצאת מדע הקומבינטוריקה. בכתבים הללו, ובמיוחד בספר "השיטה" של ארכימדס, מופיעות שיטות אחרות לקבלת התוצאות של ארכימדס שהופיעו בכתבים אחרים שלו. רעיונות ייחודיים לחיבור זה הם שימוש בגרסה מוקדמת של סכומי רימאן ואינטגרל רימאן (שארכימדס נעזר בה במסגרת שימושו בשיטת המיצוי המוכללת, בה מחלקים את שטח הצורה למקטעים באורכים לא שווים), כמו גם חישובי נפחים של צורות אחדות אשר לא מופיעים בשום מקום אחר בכתביו.

חיבורים

ארכימדס כתב חיבורים רבים על תוצאות מחקריו, אשר אותם הוא שלח כמכתבים לבני דורו. מעטים מכתביו המקוריים ביוונית השתמרו, ורובם אבדו במהלך אירועים כמו שריפת הספרייה הגדולה של אלכסנדריה בשנת 391, או בזיזת קונסטנטינופול במהלך מסע הצלב הרביעי בשנת 1203. בקטלוג מהמאה ה-4 מצוין שבין כתביו של האפיפיור היו שני אוספים של ספרי ארכימדס, הנקראים 'קודקס A' ו'קודקס B'. ספרים אלו היוו מקור השראה לרבים מהמדענים של תקופת הרנסאנס, כמו לאונרדו דה וינצ'י או גלילאו גליליי, ובהמשך - אייזק ניוטון שהושפע ישירות מעבודתו. הקודקסים הללו אבדו, אך תרגומים של חלק מספריו לערבית השתמרו. אוסף שלישי של כתבי ארכימדס, הידוע היום כפלימפססט של ארכימדס התגלה בשנת 1907.

בין ספריו של ארכימדס ניתן למצוא את:

• מחשב החול
• על הכדור והגליל
• על ספירלות
• על קונואידים וספרואידים
• על שיווי משקל של שטחים מישוריים
• על גופים צפים
• תרבוע הפרבולה
• על המדידה של המעגל
• השיטה, שמסביר את שיטת המחקר של ארכימדס, התגלה רק בשנת 1906.

חיבורים אבודים של ארכימדס

חידת הסטומכיוון, מתוך חיבורו של ארכימדס "Ostomachion", שנחשב לחיבור אבוד עד שהתגלה ב-1906.

פאפוס מאלכסנדריה מציין עבודה על פאונים (פאונים ארכימדיים) שנכתבה על ידי ארכימדס ואבדה. פאפוס מציין כי ארכימדס מנה 13 פאונים כאלה, אך לא ידוע אם הוכיח כי אלו היחידים (יוהאנס קפלר היה הראשון להוכיח כי יש רק 13 פאונים ארכימדיים). תיאון מאלכסנדריה מצטט הערה על שבירה של אור מהעבודה הכעת אבודה Catoptrica. ספר הלמות מיוחס לארכימדס על־פי ת'אבת אבן קורה אף כי האותנטיות שלו מוטלת בספק. מקורות ערבים מייחסים לו חיבור שכותרתו "על בניית המשובע המשוכלל" (On the construction of the heptagon), בו תיאר ארכימדס שיטה לבנות את הזוית ${\frac {2\pi }{7}}$ (הבנייה אינה אפשרית בסרגל ומחוגה, וארכימדס נעזר בסוג של neusis construction כדי לבנות את הזוית). מוערך שארכימדס אף גילה והוכיח את נוסחת הרון לחישוב שטח משולש מאורכי צלעותיו, מקרה פרטי של נוסחת בראהמגופטה.

ראו גם

• חוק ארכימדס
• בורג ארכימדס
• עקרון המנוף

לקריאה נוספת

• רויאל נץ וויליאם נואל, מאנגלית - דרורה בלישה, הקודקס של ארכימדס, תל אביב-יפו, פן, 2007, מסת"ב 9654824434.

קישורים חיצוניים

• זיוה דויטש ועקיבא קדרי, "אל תקלקל לי את המעגל!", באתר אלף אפס
• דף הבית של אתר המוקדש לארכימדס
• ביוגרפיה של ארכימדס, באתר MacTutor (באנגלית)
• קטעי e-text של ארכימדס בנוגע לפתרונות גאומטריים לבעיות מכניות
• Stamps of Archimedes – בולים שהונפקו לזכרו של ארכימדס
• שחזור כתבי ארכימדס, מתוך google techtalks
• טיטוס ליוויוס, כיצד הגן ארכימדס על סירקוסאי, תרגם מלטינית ד"ר מאיר שָׂש

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0